【笔记】一些构造题

构造题

1.题目(K)

简略题意：构造一个长度为n的排列，要求 \(\left | p_{i}-p_{ i \bmod n +1} \right |\) 为质数。不保证有解，\(2\le n\le 1e5\)。

思路

首先，我们已知题目要求使排列中所有相邻差的绝对值为质数。

因为质数中最常见且容易构造的是 \(2\) 这个数，所以我们希望尽量让相邻两数差等于 \(2\)。于是我们可以将：

• 所有奇数从小到大排列：\(1,3,5,7,...\)
• 所有偶数从大到小排列：\(...,6,4\)

这样无论是奇数内部还是偶数内部，相邻差都是 \(2\)。
但问题来了，对于奇数和偶数这两段之间的衔接：最大奇数（如 \(n\)）和最大偶数（如 \(n-1\)）之间的差是 \(1\)，不是质数。而且首尾两数差也可能出现问题。那咋办？

这个时候我们注意到，\(2\) 和 \(n-1\) 比较特殊！？因为：

• 对于 \(2\)，我们可以把它放在相邻两个奇数之间，这样差为质数。
  例如：把 \(2\) 插在 \(5\) 和 \(7\) 之间，差分别是 \(3\) 和 \(5\)，为质数

• 对于 \(n-1\)，因为它挨着最大数 \(n\)，它和 \(n\) 差为 \(1\)，不符合条件。所以我们需要把 \(n-1\) 这个数挪出来，插到某个数旁边，形成质数差。也就是说：

  • 当 \(n\) 为奇数时，即 \(n-1\) 为偶数，就把它插到奇数升序段中（在 \(n-6\) 后），来形成质数差；
  • 当 \(n\) 为偶数时，即 \(n-1\) 为奇数，就把它插到偶数降序段中（在 \(n-4\) 后），来形成质数差。

  例如： \(n=12\) 时，\(n-1=11\)，把它插在 \(8\) 和 \(6\) 之间，差分别是 \(3\) 和 \(5\)，都为质数。同时末尾剩的 \(4\) 和开头的 \(1\) 差 \(3\)，也为质数(Nice!)

构造流程~：

• 第一步：当 \(n\le 4\) 时无解，输出 \(-1\)；当 \(5\le n\le 8\) 时，我们直接打表，因为数字太少，没有足够的空间同时容纳这些特殊数以及亿些调整。额，对了，\(n=11\) 时直接打表更简单一些，因为插入两个特殊数后位置比较紧（输出到 \(5\) 时，会产生既想插入 \(2\)，又想插入 \(n-1\)，而产生冲突，导致两数差不为质数）。 （紧？！）
• 第二步：对于上一步中特殊的 \(n\) 以外的 \(n\)，先输出奇数（要升序，但跳过 \(2\) 和 \(n-1\) 这两个特殊数）。
• 第三步：在输出到 \(5\) 的时候，插入 \(2\)。
• 第四步：继续输出剩下的奇数，直到最大的奇数（当 \(n\) 为奇数时，并且输出到 \(n-6\) 时，插入 \(n-1\)）。然后输出 \(n\)（最大数）作为奇偶段的转折。
• 最后一步：再输出偶数（要降序；当 \(n\) 为偶数时，并且输出到 \(n-4\) 时，插入 \(n-1\)）。

为什么要在 $n-6$ 或 $n-4$ 时将 $n-1$ 插入？

• 当 \(n\) 为奇数，即 \(n-1\) 为偶数。奇数升序序列中相邻奇数差为 \(2\)。我们要把偶数 \(n-1\) 插入到两个奇数之间。在 \(n-6\) 后面插入 \(n-1\)，即在 \(n-6\) 和 \(n-4\) 之间插入它，则：

  • \(\left | \left ( n-1 \right ) -\left ( n-6 \right ) \right | =5\)，是质数；
  • \(\left | \left ( n-4 \right ) -\left ( n-1 \right ) \right | =3\)，是质数。

  所以在 \(n-6\) 后插入，这样简单~。

• 当 \(n\) 为偶数时，同上。

这样就构造完啦！时间复杂度 \(O(n)\)。

总结：本构造巧妙利用了奇偶差 \(2\) 打底，用 \(2\) 和 \(n-1\) 处理了交界的问题，因此实现了线性复杂度的构造~

代码

/*@author:decentz*/
#include<bits/stdc++.h>
#define FRE(x,y) freopen(#x".in","r",stdin);freopen(#y".out","w",stdout);
#define LK_TIME cerr<<(1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC)<<'\n';
#define REP(i,a,b) for(int i=(a),i##end=(b);i<=i##end;i++)
#define PRE(i,a,b) for(int i=(a),i##end=(b);i>=i##end;i--)
#define MMS(arr,n) memset(arr,n,sizeof(arr));
#define DEBUG(x) cerr<<#x<<": "<<x<<'\n';
using namespace std;
using LL=long long;
const LL INF=LLONG_MAX,_INF=LLONG_MIN;
bool STWZZ;
int n;
bool EDWZZ;
int main(){
	//FRE(,);
	//cerr<<(&EDWZZ-&STWZZ)/1024.0/1024.0<<'\n';
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
	cin>>n;
	if(n<=4) cout<<-1;
	else if(n==5) cout<<"4 1 3 5 2";
	else if(n==6) cout<<"1 3 5 2 4 6";
	else if(n==7) cout<<"1 3 5 2 7 4 6";
	else if(n==8) cout<<"1 6 3 8 5 2 7 4";
	else if(n==11) cout<<"1 3 10 5 2 7 9 11 8 6 4";
	else{
		for(int i=1;i<=n-2;i+=2){
			cout<<i<<' ';
			if(i==5) cout<<"2 ";
			if(i==n-6) cout<<n-1<<' ';//针对奇数情况
		}
		cout<<n<<' ';
		for(int i=n-(n&1)-2;i>=4;i-=2){//(n&1)用来判断n的奇偶
			cout<<i<<' ';
			if(i==n-4) cout<<n-1<<' ';//针对偶数情况
		}
	}
	return 0;
}

代码中的 $ n-(n \\\& 1)-2 $ 是啥意思？

• 当 \(n\) 为偶数时（$ (n\&1)=0 $，起始值 \(=n-2\)），最大的偶数是 \(n\)，但 \(n\) 已经在前面的奇数升序序列结束后单独输出了，所以这里从 \(n-2\) 开始。
• 当 \(n\) 为奇数时（$ (n\&1)=1 $，起始值 \(=n-3\)），最大的偶数是 \(n-1\)，但 \(n-1\) 已经在前面的奇数序列中被插入过了（在 \(i==n-6\) 处），所以这里从 \(n-3\) 开始。

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2.加急补充中……

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因本人蒟蒻，所以如有错误请指出~