树与二叉树：数据结构基础解析

树的基本概念

树是⼀种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成⼀个具有层次关系的集合。把它叫做
树是因为它看起来像⼀棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，⽽叶朝下的。它具有以下的特点：
• 有⼀个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
• 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每⼀个集合Ti(1 <= i <= m) ⼜是⼀棵与树类似的⼦树。每棵⼦树的根结点有且只有⼀个前驱，可以有0个或多个后
继
• 树是递归定义的。

• 注意：树形结构中，⼦树之间不能有交集，否则就不是树形结构
  

常用定义概念

• 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6
• 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6
• 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
• 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
• 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点
• 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
• 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
• 树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4
• 树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：
  • 非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点
  • 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点
  • 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
  • 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
  • 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
  • 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

二叉树

概念

• 一颗二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
  • 或者为空
  • 或者是由⼀个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
    
• 注意点：
  • 二叉树节点最多能延伸出两个节点
  • 二叉树的左右节点有顺序之分，不能交换（后面前中后遍历顺序输出就不一样）
    

两种特殊的二叉树

• 满二叉树：一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是$2^k-1$，则它就是满二叉树。
• 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
• 

二叉树的性质

• 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有：$2^{i-1}$（$i>0$）个结点（找规律）

• 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点总数是：$2^k-1$（$k>=0$）

  • 

• 对任何一棵二叉树，如果其叶结点个数为$n_0$，度为2的非叶结点个数为$n_2$，则有：$n_0=n_2+1$

  • 

• 具有n个结点的完全二叉树的深度k为：$\lceil {\log }_2(n+1)\rceil$（上取整）

• 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

  • 若$i>0$，双亲序号：$(i-1)/2$；$i=0$，$i$为根结点编号，无双亲结点
  • 若$2i+1<n$，左孩子序号：$2i+1$，否则无左孩子
  • 若$2i+2<n$，右孩子序号：$2i+2$，否则无右孩子

概念练习题

• 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）

• A 不存在这样的二叉树

• B 200

• C 198

• D 199
  n0=n2+1=199+1=200,选B

• 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

• A n

• B n+1

• C n-1

• D n/2
  
  选A

• 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

• A 383

• B 384

• C 385

• D 386
  

• 一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）

• A 11

• B 10

• C 8

• D 12

  • 我们可以根据完全二叉树的节点数与高度的关系来求解。

  • 完全二叉树高度与节点数的关系 对于深度为$h$的完全二叉树，节点数$n$满足：$2^{h-1}\le n<2^h$。

    推导过程 已知完全二叉树的节点数$n=531$。 我们需要找到满足$2^{h-1}\le 531<2^h$的$h$。
    计算可得： $2^9=512$，$2^{10}=1024$。 因为$2^9=512\le 531<1024=2^{10}$，所以$h-1=9$，$h=10$。

    所以这棵完全二叉树的高度为 10，答案选 B。

二叉树的存储（开始代码实现）

• 二叉树的本质是链表的实现，所以与链表链表的起始创建一致

    public static class TreeNode {
        int val;
        TreeNode left;
        TreeNode right;

        public TreeNode(int val) {
            this.val = val;
        }
    }

手动创建（非正式创建）：

public void createBinaryTree(){
	 BTNode node1 = new BTNode(1);
	 BTNode node1 = new BTNode(2);
	 BTNode node1 = new BTNode(3);
	 BTNode node1 = new BTNode(4);
	 BTNode node1 = new BTNode(5);
	 BTNode node1 = new BTNode(6);
	 
	 root = node1;
	 node1.left = node2;
	 node2.left = node3;
	 node1.right = node4;
	 node4.left = node5;
	 node5.right = node6;
 }

☆二叉树的遍历

前中后序遍历

• 学习⼆叉树结构，最简单的⽅式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做⼀次且仅做⼀次访问。核心：通过递归实现
  

• 前序遍历——根，左，右

// 前序遍历
    public void preOrder(TreeNode root) {
        if(root==null){
            return;
        }
        System.out.print(root.val+" ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

• 中序遍历——左，根，右

// 中序遍历
    public void inOrder(TreeNode root) {
        if(root==null){
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val+" ");
        inOrder(root.right);
    }

• 后序遍历——左，右，根

// 后序遍历
    public void postOrder(TreeNode root) {
        if(root==null){
            return;
        }
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val+" ");
    }

层序遍历

//层序遍历1
    public void levelOrder(TreeNode root){
        if(root==null){
            return;
        }
        Queue<TreeNode> queue=new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode node = queue.poll();
            System.out.print(node.val+" ");
            if(node.left!=null){
                queue.offer(node.left);
            }
            if(node.right!=null){
                queue.offer(node.right);
            }
        }
    }

二维链表书写方式：
思路一致，只是把每一层单独存放最后统一汇总，需要有计数器来计每一层的节点个数
力扣—102. 二叉树的层序遍历

class Solution {
    public List<List<Integer>> levelOrder(TreeNode root) {
        List<List<Integer>> ret = new ArrayList<List<Integer>>();
        if (root == null) {
            return ret;
        }

        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<TreeNode>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            List<Integer> level = new ArrayList<Integer>();
            int currentLevelSize = queue.size();
            for (int i = 1; i <= currentLevelSize; i++) {
                TreeNode node = queue.poll();
                level.add(node.val);
                if (node.left != null) {
                    queue.offer(node.left);
                }
                if (node.right != null) {
                    queue.offer(node.right);
                }
            }
            ret.add(level);
        }
        return ret;
    }
}

基本操作

1. 获取数中的节点个数

// 获取树中节点的个数

    //计数器写法
    public int nodeSize=0;
    public void size(TreeNode root) {
        if(root==null){
            return;
        }
        nodeSize++;
        size(root.left);
        size(root.right);
    }
    
    //子问题思路
    public int size2(TreeNode root) {
        if(root==null){
            return 0;
        }
        return size2(root.left)+size2(root.right)+1;
    }

2. 获取叶子结点的个数

// 获取叶子节点的个数
    public int getLeafNodeCount(TreeNode root){
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        if(root.left == null && root.right == null){
            return 1;
        }
        return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);
    }

3. 获取第K层节点的个数

// 获取第K层节点的个数
    public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        if(k==1){
            return 1;
        }
        return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
    }

4. 获取⼆叉树的⾼度

// 获取⼆叉树的⾼度
    public int getHeight(TreeNode root){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        return Math.max(getHeight(root.left),getHeight(root.right))+1;
    }

5. 检测值为value的元素是否存在

// 检测值为value的元素是否存在
    TreeNode find(TreeNode root, int val){
        if(root==null) {
            return null;
        }
        if(root.val==val) {
            return root;
        }
        TreeNode ret=find(root.left,val);
        if(ret!=null) {
            return ret;
        }
        ret=find(root.right,val);
        if(ret!=null) {
            return ret;
        }
        return null;
    }