2024/12/24

树上排序

题目大意：给定一棵 \(n(n\le 5e5)\) 个节点的有根树，初始时每个节点有一个权值 \(a_i\)，可以对 \(i=1,2,\dots,n\) 依次做以下操作：选择一个 \(i\) 子树内的节点并交换它们两个的权值。询问是否能够让节点 \(i\) 的权值为 \(i\)。给出方案。

先考虑如何判断是否有解。将每一个置换环拿出来，那么在这个环上的节点必须在同一条链上时才会有界。

考虑证明。首先，其它情况是一定无解的，也就是最存在两个节点 \(u,v\) 满足 \(a_v=u\) 且它们之间没有祖孙关系，此时至少要选择一个 \(u,v\) 的公共祖先将 \(a_v\) 放上去，而这个祖先只能操作一次，所以它没办法将 \(a_v\) 给到 \(u\)。

其次，考虑构造出一种方案：

• 一个大致的思想是，只有最深的点无法操作/不用操作，所通过其它点使得方案合法。
• 按照 \(a_i\to i\) 的顺序来连边，可以构成一个环。
• 按照编号从小到大来依次操作每一个点，假设当前操作 \(u\)。
• 选择一个点 \(v\)，然后交换 \(u,v\)，此时一定会分成两个环。
• 目标是使得 \(u\) 是它所在的环中深度最大的点。这样子就可以递归子问题来处理。
• 所以，只需要在原来的环上按顺序找到第一个深度比 \(u\) 大的点，就是 \(v\)。

我们可以使用平衡树来维护每一个环。

APIO2012 派遣者

树上启发式合并，用大根堆来维护。

NOI2021 密码箱

我们知道，\(f(a_0,a_1,\dots,a_n)\) 的倒数是：

\[\frac{1}{a_0+\frac{1}{a_1+\dots}} \]

有这样一个合并的形式：\(\frac{a^\prime}{b^\prime}=\frac{1}{a_i+\frac{a}{b}}\)。

化成 \(\frac{b}{a_ib+a}\)，可以使用矩阵来刻画：

\[\left[\begin{matrix} a^\prime\\ b^\prime \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0&1\\ 1&a_i \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} a\\ b \end{matrix}\right] \]

那么操作 W 相当于在末尾乘上一个：

\[\left[\begin{matrix} 1&1\\ 0&1 \end{matrix}\right] \]

而对于操作 E 则是乘上一个：

\[\left[\begin{matrix} 0&-1\\ 1&2 \end{matrix}\right] \]

可以使用平衡树来维护三种修改操作。

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