素数

一、定义

素数又称质数，是指一个大于1的正整数，除了1和它本身外，没有其他约数的自然数，否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。

二、性质

质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p₁，p₂，……，p_n，设N=p₁×p₂×……×p_n，那么，N+1是素数或者不是素数。

如果

N+1

为素数，则

N+1

要大于p₁，p₂，……，p_n，所以它不在那些假设的素数集合中。

1、如果为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以不可能被p₁，p₂，……，p_n整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。

2、其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，哈里·弗斯滕伯格则用拓扑学加以证明。

例题：预先给定几个素数，则有比他们更多的素数。

证明:

设a,b,c是给定的素数，构造一个新的数t=a*b*c+1,则已有的素数a,b,c均不能整除t，所以要么t本身就是素数，此时t不等于a,b,c中任意一个数；要么t能被不同于a,b,c的某一个素数整除，因此必然存在一个素数p不同于已有的素数a,b,c。例如：2*3*5+1=31,3*5*7+1=106=2*53。也就是说，有了n个素数，就可以构造出第n+1个素数，因此素数有无穷多个。

三、数目计算

尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100，000以下有多少个素数？”，“一个随机的100位数多大可能是素数？”。素数定理可以回答此问题。

1、在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间（a, 2a]中）必存在至少一个素数。

2、存在任意长度的素数等差数列。^[1]

3、一个偶数可以写成两个合数之和，其中每一个合数都最多只有9个质因数。（挪威数学家布朗，1920年）

4、一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中合数的因子个数有上界。（瑞尼，1948年）

5、一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为（1 + 5）（中国潘承洞，1968年）

6、一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为（1 + 2）^[2]

四、性质

质数具有许多独特的性质：

（1）质数p的约数只有两个：1和p。

（2）初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。

（3）质数的个数是无限的。

（4）质数的个数公式

π（n）

是不减函数。

（5）若n为正整数，在

n²到

(n+1)²

之间至少有一个质数。

（6）若n为大于或等于2的正整数，在n到

n!之间至少有一个质数。

（7）若质数p为不超过n（

n≥40）的最大质数，则\frac{n}{2}"> 。

（8）所有大于10的质数中，个位数只有1,3,7,9。^[2]

五、素数的相关定理

1. 唯一分解定理

若整数a≥2，那么a一定可以表示为若干个素数的乘积（唯一的形式），即：

a=p₁*p₂*p₃*......*p_s(其中p_j为素数，成为a的质因子，1≤j≤s）

如：1260=2*2*3*3*5*7=2²*3²*5*7

2.威尔逊定理

若p为素数，则(p-1)!≡-1(mod p)(其中n!表示n阶乘）

威尔逊定理的逆定理也成立，即：

若对某一正整数p，有(p-1)!≡-1(mod p)，则p一定为素数。

既然如此，则(p-1)!+1一定是p的倍数，所以再利用sin函数的特点，就可以构造出一个素数分布的函数曲线f(n):f(n)=sin(π*((n-1)!+1)/n)。这个函数值为0的点都是素数所在的点。

3.费马定理

若p为素数，a为正整数，且a和p互质，则：a^p-1≡1(mod p)。

证明：

首先，p-1个整数a,2a,3a,...(p-1)a中没有一个是p的倍数。

其次，a,2a,3a,...(p-1)a没有任何两个同余于模p的倍数。

于是，a,2a,3a,...(p-1)a对模p的同余既不为0，也没有两个同余相同。因此，这p-1个数对模p的同余一定是1,2,3，...p-1的某一种排列，即：a*2a*3a*...*(p-1)a≡1*2*3*...*(p-1)(mod p)

化简为：a^p-1*(p-1)!≡(p-1)!(mod p)

又由于p是素数，根据威尔逊定理得出(p-1)!和p互质。所以约去(p-1)!

得到：a^p-1≡1(mod p)

其实这是一种特殊情形，一般情况下，若p为素数，则：a^p≡a(mod p)，这就是著名的费马小定理。

4.欧拉定理

五、素数的判定

1.穷举法

int main(){

int i,n;

scanf("%d".&n);

for(i=2;i<sqrt(n);i++)

if(n%i==0)break;

if(i<n||n==1)puts("NO");

else puts("Yes");

}

2.筛选法

（1）筛选法的具体做法是先把N个自然数按次序排列起来。首先排除1，1后面的第一个数是2，由于2是质数所以留下，并把后面所有2的倍数都去掉。2后面第一个没划去的数是3，把3留下，再把3后面所有能被3整除的数都划去。3后面第一个没划去的数是5，把5留下，再把5后面所有能被5整除的数都划去······以此类推，最后剩下的均为质数。

（2）

    // 100 prime number
    // 筛选法 即：“埃拉托色尼筛选法”
    // 找出一个非素数就把它挖掉，最后剩下就是素数
    /*
      * 找出1~n的素数表
     * 1、挖去1
      * 2、用下一个未挖去的数p去除p后面各数，把p的倍数挖掉
      * 3、检查p是否小于n的整数部分（如果n=1000，则坚持p<31?），
     *    如果是，则返回（2）继续执行，否则结束。
      * 4、剩下的就是素数了
     */
      #include<iostream>
      #include<iomanip>
      #include<cmath>
      using namespace std;
      int main() {
        int i, j, n, a[101];
        for (i = 1; i <= 100; i++) {
          a[i] = i;
        }
        a[1] = 0;
        for (i = 2; i < sqrt(100); i++) {
          for (j = i + 1; j <= 100; j++) {
            if (a[i] != 0 && a[j] != 0) {
                if (a[j] % a[i] == 0) {
                    a[j] = 0;
                }
            }
        }
    }
    cout<<endl;
    for (i = 1, n = 0; i <= 100; i++) {
        if (a[i] != 0){
            cout<<setw(5)<<a[i]<<" ";
            n++;
        }
        if (n == 10) {
            cout<<endl;
            n = 0;
        }
    }
    cout<<endl;
    return 0;
}

3.线性筛法

（1）关于线性筛法

线性是指O（n）内筛掉所有合数，还有一种方法叫埃氏筛法，我先证明埃氏筛法效率低，也就是会有重复。

证明如下：

埃氏筛法的原理是找到一个素数后，它的1~n倍就会被筛掉，任何一个合数都可以被拆成一个质数*另一个数的形式，我们对每一个质数对应的可能的（合）数都枚举了，这就保证了所有可能的合数都被筛掉了。为什么不是最优呢？问题出在那个质数上，对于一个合数m，m=h*P,P是质数且P>m的最小质因数，那么m也可以表示为m=H*p,（H是个比h大的合数，p是m的最小质因数），这样我们在枚举p的倍数时，m就被筛掉了，而在枚举P的倍数时，m又被筛掉了一次，造成效率浪费。

怎办呢?--------线性筛法

我们在枚举倍数时，保证当前质数不能整除这个倍数就好了，当然了，在之前要先筛一次，也就是p是m的p，这样我们在最优性的条件下，对每一个质数，它所有对应的倍数，都被枚举到，也就保证了可行性。

#include<bits/stdc++.h>

    using namespace std;
    int n,cnt;
    int prime[100000];
    bool vis[100000];

    void Euler(){
        for(int i=2;i<=n;i++){
            if(!vis[i]) prime[++cnt]=i;
            for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
                vis[i*prime[j]]=1;
                if(i%prime[j]==0)
                break;
            }
         }
     }

    int main(){
      cin>>n;
      Euler();
      for(int i=1;i<=cnt;i++)
          cout<<prime[i]<<' ';
      return 0;
    }

4.欧拉函数线性筛

　　(1)欧拉函数有以下五条性质：

　由此，我们可以在素数线性筛的基础上筛出欧拉函数！

　每次想要得到phi[n]，详细过程如下：

　　　　若n为素数，根据①，有phi[n]==n-1

　　　　若a*b==n(a，b为任意互质数)，根据②，有phi[n]==phi[a]*phi[b]，这里的phi[a]和phi[b]都是已经得到的

　　　　若a*p==n(p为质数，且p是a的因数)，根据⑤得phi[n]==phi[a]*p

代码如下：

C++：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 int const MAXN=100010;
 6 
 7 int prime[MAXN],tot;
 8 bool notprime[MAXN];
 9 int euler[MAXN];
10 
11 void pony_getPhi(int n){ 
12     notprime[0]=1;
13     notprime[1]=1;
14     euler[1]=1;
15     for(int i=2;i<=n;++i){ 
16         if(!notprime[i])
17         {
18             prime[tot++]=i;
19             euler[i]=i-1;//HERE 1
20         }   
21         for(int j=0; j<tot && i*prime[j]<=n;++j){ 
22             notprime[i*prime[j]]=1; 
23             if(i%prime[j]==0){euler[i*prime[j]]=euler[i]*prime[j];break;}//HERE 5
24             else euler[i*prime[j]]=euler[i]*euler[prime[j]];//HERE 2
25         }
26      }
27 }
28 
29 int main(int argc,char *argv[],char *enc[]){
30     int m=100;
31     pony_getPhi(m);
32     for(int i=1;i<=m;++i){
33         printf("phi(%d):%d",i,euler[i]);
34         if(notprime[i]) printf("\n");
35         else printf("    [%d]Prime\n",i);
36     }
37     return 0;
38 }
  5.莫比乌斯函数的线性筛法
    莫比乌斯函数μ(d)的定义如下：
　　　　(1)若d=1，那么μ(d)=1 
　　　　(2)若d=p1p2…pk(p1…pk均为互异质数)，那么μ(d)=(−1)^k 
　　　　(3)其他情况下，μ(d)=0

　　只要抓住定义就能轻松筛出莫比乌斯函数啦

　　代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
        using namespace std;
       int const MAXN=100010;
       int prime[MAXN],tot;
       bool notprime[MAXN];
       int miu[MAXN];
       void pony_getMiu(int n){
           notprime[0]=1;
           notprime[1]=1;
          miu[1]=1;//HERE 1
          for(int i=2;i<=n;++i){
               if(!notprime[i])
               {
                 prime[tot++]=i;
                   miu[i]=-1;//HERE 2
              }
             for(int j=0; j<tot && i*prime[j]<=n;++j){
                  notprime[i*prime[j]]=1;
                   if(i%prime[j]==0){miu[i*prime[j]]=0;break;}//HERE 3
                  else miu[i*prime[j]]=-1*miu[i];//HERE 2
              }
           }
       }
       int main(int argc,char *argv[],char *enc[]){
          int m=100;
         pony_getMiu(m);
          for(int i=1;i<=m;++i){
               printf("miu(%d):%d",i,miu[i]);
             if(notprime[i]) printf("\n");
             else printf("    [%d]Prime\n",i);
          }
          return 0;
       }

6.Miller-Rabin素数测试算法

（1）作用：

有时候我们想快速的知道一个数是不是素数，而这个数又特别的大导致 O( $\sqrt{n}$ ) 的算法不能通过，这时候我们可以对其进行 Miller-Rabin 素数测试，可以大概率测出其是否为素数。

（2）两个基础理论

证明转载费马小定律&二次探测的证明

①费马小定理：当为质数，有 $a^{p-1}\equiv 1(mod \: \, p)$ ，不过反过来不一定成立，也就是说，如果 , 互质，且 $a^{p-1}\equiv 1(mod \: \, p)$ ，不能推出是质数，比如数（这个就自行百度吧）

②二次探测：如果是一个素数，, 则方程 $x^{2}\equiv 1(mod\: \, p)$ 的解为或

（3）算法流程

       （4）备注
        ①我们可以多选择几个 a，如果全部通过，那么 x 大概率是质数。
        ②Miller-Rabin 素数测试中，“大概率”意味着概率非常大，基本上可以放心使用。
        ③当 a 取遍小等于 30 的所有素数时，可以证明 int 范围内的数不会出错。
        ④代码中我用的 int 类型，不过实际上 Miller-Rabin 素数测试可以承受更大的范围。
        ⑤另外，如果是求一个 long long 类型的平方，可能会爆掉，因此有时我们要用“快速积”，不能直接乘。