同余

一、定义

  1.给定一个正整数m，及两个整数a、b。如果a−b被m整除，则称a与b模m同余，记作a≡b(mod m)否则称a与b模m不同余，记作a≢b(mod m)，读作：a、b在模m意义下同余。

         即：a-b=m*k(k为整数）

     2.推导：设p、q为整数且p>q

                  则a=pm+r   b=qm+r

                  所以a-b=(p-q)m

                  即m|(a-b)

     3.例：32≡2（mod 5），此时k为6。

二、性质

        对于整数a、b、c和自然数m、n，对模m同余具有以下一些性质：

        性质1：a≡a（mod m），（自反性）

        这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。

        性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m），（对称性）。

        性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。

        性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（同加减性）。

        证明：加法：

                  设p、q为整数

                  则a=pm+r        b=qm+r

                     a=pm+r+c     b=qm+r+c

                  即(a+c)%m=(r+c)%m    ①

                      (b+c)%m=(r+c)%m    ②

                  所以(a+c)≡(b+c)(mod m)

                  减法同理。

        性质5：若a≡b（mod m），那么ac≡bc（mod m）（同乘性）

                    若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（同乘性）。

        证明:    有题意可知：

                     a=k₁m+r₁               c=k₃m+r₂

                     b=k₂m+r₁               c=k₄m+r₂

                     a*c=k₁k₃m²+k₁r₂m+k₃r₁m+r₁r₂

                     因此(a*c)%m=r₁r₂%m    ①

                     同理(b*d)%m=r₁r₂%m    ②

                     即：a*c≡b*d(mod m)

                     问题得证。

        性质6：若a≡b（mod m），那么aⁿ≡bⁿ（mod m），（其中n为自然数，同幂性）。

        证明略，与性质五类似。

        性质7：推论1：(a*b)%k=(a%k)*(b%k)%k

                                (a+b)%k=((a%k)+(b%k))%k

                                (a-b)%k=((a%k)-(b%k))%k

        性质8：推论2：若a%p=x，a%q=x，p、q互质，则a%p*q=x。

        证明：因为a%p=x，a%q=x，p、q互质

                  则一定存在整数s、t，使得a=s*p+x=t*q+x

                 所以s*p=t*q

                 则一定存在整数r，使s=t/p*q=r*q

                 所以，a=r*p*q+x，得出：a%p*q=x。

        性质9：若a≡b（mod m）、c≡d（mod m）、e≡f（mod m）……x≡y（mod m），

        那么：a+c+e+……+x和b+d+f+……+y也对于m同余。