矩阵间关系

1 矩阵等价
2 方阵相似
3 方阵合同
 
1 矩阵等价
1.1 定义
 如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变换得到, 则称A与B是等价的.
 初等变换: 对换变换; 倍乘变换; 倍加变换
1.2 性质
 (1)对A初等行变换 = 初等矩阵左乘A; 对A初等列变换 = 初等矩阵右乘A;
 (2)初等矩阵可逆
 (3)A可逆 <=> A可以表为有限个初等矩阵的乘积.
 (4)初等变换不改变矩阵的秩.
 (5) (3)+(4) => 乘以可逆阵不改变矩阵的秩
1.3 应用-初等变换法求逆
 
2 方阵相似
2.1 定义
 若存在可逆矩阵P,使得
  P^-1AP = B
 则称矩阵A与B相似, 记为A~B
2.2 性质
 (1)反身性; 对称性; 传递性;
 (2)相似矩阵有相同特征值;
 (3)设A~B, 则A^m~Bm
 (4)相似矩阵的行列式相等
 (5)相似矩阵的秩相等
 (6)相似矩阵或都可逆或都不可逆, 都可逆时逆矩阵也相似
2.3 应用-对角化
 
3 方阵合同
3.1 定义
 若存在可逆矩阵C, 使得
  B = C^TAC
 则称A与B合同
3.2 性质
 (1)反身性; 对称性; 传递性
3.3 应用-二次型的标准形
3.3.1 定义
 二次型A(实对称阵)的标准形是与A合同的对角阵
 如果二次型x^TAx(其中AT=A)通过可逆线性替换x=Cy化为二次型y^TBy, 且B=C^TAC是对角阵, 称B是A的标准形.
3.3.2 定理
 二次型x^TAx必存在正交阵P, 使得经过线性替换x=Py可以化为标准型.
3.3.3 解法
 正交变换法; 配方法; 初等变换法
3.4 补充-二次型的规范形
3.4.1 定义
 系数为±1的标准型
3.4.2 定理
 惯性定理: 任一二次型都可以经过可逆线性替换化为规范形, 且规范形唯一.
 推论1: 正惯性指数+负惯性指数 = 秩
 推论2: 两实对称阵合同 <=> 他们具有相同的正惯性指数和秩.
3.4.3 解法
 将标准形作简单替换z=1/di*y