证明: 设n阶方阵A相似于对角阵Λ, λ是A的k重特征值, 则r(λE-A)=n-k.

1 设n阶方阵A相似于对角阵Λ, λ是A的k重特征值, 则r(λE-A)=n-k.
证明:
 由定理3.9: A~Λ <=> A有n个线性无关的特征向量,
  知k重特征值λ存在k个线性无关的特征向量,
  故方程组(λE-A)x=0基础解系由k个解组成.  (1)
 由定理2.15: Bx=0的基础解系由n-r(B)个解组成,
  知(λE-A)x=0的基础解系由n-r(λE-A)个解组成. (2)
 由(1)(2)知, k=n-r(λE-A), 即r(λE-A)=n-k.