莫比乌斯反演精题演算草稿（Crash的数字表格+GCD+Visible Lattice Points+Primes in GCD Table+数表+约数个数和）

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六道莫比乌斯反演练习题：

Crash的数字表格
GCD
Visible Lattice Points
Primes in GCD Table
数表
约数个数和

_{以下仅为草稿，供以启发思路，或快速回顾}

Crash的数字表格

$f(x)={\sum }_{k=1}^{min(n,m)}k{\sum }_{i=1}^{n/k}{\sum }_{j=1}^{m/k}i\ast j(gcd(i,j)==x)$

$S(x)=(1+x)\ast x/2$

$F(x)=x^2{\sum }_{k=1}^{min(n,m)}k\ast S(n/(kx))\ast S(m/(kx))={\sum }_{x|d}f(d)$

$f(x)={\sum }_{x|d}^{n}F(d)\ast \mu (\frac{d}{x})$

$={\sum }_{x|d}^n\mu (\frac{d}{x})d^2{\sum }_{k=1}^{min(n,m)}k\ast S(\frac{n}{kd})\ast S(\frac{m}{kd})$

$ans=f(1)={\sum }_{d=1}^n\mu (d)d^2{\sum }_{k=1}^{min(n,m)}k\ast S(\frac{n}{kd})\ast S(\frac{m}{kd})$

$={\sum }_{T=1}^{n,m}S(\frac{n}{T})\ast S(\frac{m}{T})\cdot ({\sum }_{d|T}\frac{T}{d}\cdot \mu (d)d^2)$

$={\sum }_{T=1}^{n,m}S(\frac{n}{T})\ast S(\frac{m}{T})\cdot G(T)$

$G(T)$：积性函数，$ans$：前缀和+数论分块解决

GCD

$f(k)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m(gcd(i,j)==k)$

$F(k)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m(k|gcd(i,j))=[\frac{n}{k}][\frac{m}{k}]={\sum }_{k|d}f(d)$

$f(k)={\sum }_{k|d}F(d)\cdot \mu (\frac{d}{k})={\sum }_{i=1}^{n/k}[\frac{n}{ik}]\cdot [\frac{m}{ik}]\cdot \mu (i)$

$ans$：前缀和+数论分块解决

Visible Lattice Points

$f(k)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{k=1}^{n}gcd(i,j,k)==k$

$F(k)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{k=1}^{n}k|gcd(i,j,k)=[\frac{n}{k}{]}^3={\sum }_{k|d}f(d)$

$f(k)={\sum }_{k|d}F(d)\mu (\frac{d}{k})={\sum }_{k|d}\cdot [\frac{n}{d}{]}^3\cdot \mu (\frac{d}{k})={\sum }_{i=1}^n\cdot [\frac{n}{ik}{]}^3\cdot \mu (i)$

$$\begin{gathered} ans=f(1)={\sum }_{i=1}^n\cdot [\frac{n}{i}{]}^3\cdot \mu (i)（坐标都>0的三维体） \\ +3{\sum }_{j=1}^n\cdot [\frac{n}{j}{]}^2\cdot \mu (j)（某个坐标为0的三个面）+3（只有一个坐标不为0，与(0,0,0)相邻的三个点） \end{gathered}$$

$ans$：前缀和+数论分块解决

Primes in GCD Table

$f(k)={\sum }_p{\sum }_{i=1}^{n/p}{\sum }_{j=1}^{m/p}gcd(i,j)==k$

$F(k)={\sum }_p{\sum }_{i=1}^{n/p}{\sum }_{j=1}^{m/p}k|gcd(i,j)={\sum }_{k|d}f(d)={\sum }_p\frac{n}{pk}\frac{m}{pk}$

$f(k)={\sum }_{k|d}F(d)\mu (\frac{d}{k})={\sum }_p{\sum }_{k|d}\frac{n}{pd}\frac{m}{pd}\mu (\frac{d}{k}),$

$ans=f(1)={\sum }_p{\sum }_{i=1}^n\frac{n}{pi}\frac{m}{pi}\mu (i)$

$ans$：前缀和+数论分块解决

CAUTION : 最后分块时还要乘上区间中的质数个数

数表

$h(x)$：能同时整除 $x$ 的所有自然数之和

$f(x)={\sum }_{k=1}^{n}h(k){\sum }_{i=1}^{n/k}{\sum }_{j=1}^{m/k}(gcd(i,j)==x)$

$F(x)={\sum }_{k=1}^{n}h(k){\sum }_{i=1}^{n/k}{\sum }_{j=1}^{m/k}(x|gcd(i,j))={\sum }_{k=1}^{n}h(k)\cdot [\frac{n}{kx}]\cdot [\frac{m}{kx}]={\sum }_{x|d}f(d)$

$f(k)={\sum }_{k|d}F(d)\mu (\frac{d}{k})={\sum }_{k|d}{\sum }_{k=1}^{n}h(k)\frac{n}{kd}\frac{m}{kd}\mu (\frac{d}{k})$

$ans=f(1)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{k=1}^{n}h(k)\frac{n}{ki}\frac{m}{ki}\mu (i)={\sum }_{T=1}^n\frac{n}{T}\frac{m}{T}{\sum }_{k|T}h(k)\mu (\frac{T}{k})$

$ans$：前缀和+数论分块解决

CAUTION : 最后离线用树状数组加贡献求前缀和，总$O(nlo{g}^{2}n)$

约数个数和

结论牢记心间，永久不散：

$d(ij)={\sum }_{x|i}{\sum }_{y|j}(gcd(x,y)==1)$

$f(k)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m{\sum }_{x|i}{\sum }_{y|j}(gcd(x,y)==k)={\sum }_{x=1}^n{\sum }_{y=1}^m(gcd(x,y)==k)[\frac{n}{x}][\frac{m}{y}]$

$F(k)={\sum }_{x=1}^n{\sum }_{y=1}^m(k|gcd(x,y))[\frac{n}{x}][\frac{m}{y}]$

$={\sum }_{x=1}^{n/k}[\frac{n}{xk}]{\sum }_{y=1}^{m/k}[\frac{m}{yk}]$

$f(k)={\sum }_{k|d}F(d)\mu (\frac{d}{k})={\sum }_{k|d}\mu (\frac{d}{k}){\sum }_{x=1}^{n/d}[\frac{n}{xd}]{\sum }_{y=1}^{m/d}[\frac{m}{yd}]$

$ans=f(1)={\sum }_{d=1}^n\mu (d){\sum }_{x=1}^{n/d}[\frac{n}{xd}]{\sum }_{y=1}^{m/d}[\frac{m}{yd}]$

令 $h(x)={\sum }_{i=1}^x[\frac{x}{i}]$

$ans={\sum }_{d=1}^{n}h(\frac{n}{d})h(\frac{m}{d})\mu (d)$

$ans$：前缀和+数论分块解决