[2021.4.9多校省选模拟35]老魔杖 （博弈论，找规律(?)）

题面

三大死亡圣器之一的老魔杖，被誉为最强魔杖，被 Harry 掰断后扔在悬崖下。

某一天，小 A 有幸在悬崖下捡到了这根魔杖，然而由于损坏严重，所以只能施一些简单的小魔法。恰好魔法界新兴起了一种小游戏，这个游戏是这样的：

地上有一些砖块，每一块的长度都是 $1,2,3,4$ 中的一个整数。每次一个人可以进行两种操作中的一种：

1. 使用“粉身碎骨”咒，粉碎恰好 $n$ 个长度为 $n$ 的砖块。如果长度为 $n$ 的砖块不足 $n$ 个，则不能进行此操作。
2. 使用“变形”咒，把一个长度大于 $1$ 的砖块分为两个长度大于 $0$ 的砖块。你必须保证分成的两个砖块长度都是正整数。

当某个人无法使用魔法时即算输。

每次游戏的初始局面是随机生成的。然而小 A 还有一个迷之身份——欧捱儿，所以他可以作弊，当给出一个局面时，就知道先手能否必胜。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 $T$, 表示数据组数。

接下来 $T$ 行，每行四个非负整数 $a,b,c,d$，表示本组数据中长度为 $1,2,3,4$ 的砖块分别有多少个。

输出格式

输出 $T$ 行，每行一个整数：1 表示先手必胜，0 表示先手必败。

样例输入

3
4 2 1 0
0 0 1 0
7 0 1 0

样例输出

1
1
0

数据范围与提示

对于 30% 数据满足: $a+2b+3c+4d\le 10$。

对于 70% 数据满足: $max\{a,b,c,d\}\le 14$。

对于 100% 数据满足: $1\le T\le 10,max\{a,b,c,d\}\le 10^{10000}$。

题解

看到 100% 的数据就被吓到了，隐约觉得这是个结论题。

再看 70% 的数据，居然这么小！于是直接打了 DP 骗分跑路。

这里的 $dp[a][b][c][d]$ 表示四种砖块数量各是 $a,b,c,d$ 时的状态，注意上界：$a\le 140,b\le 62.c\le 32,d\le 14$ ，以及计算顺序就行了。

但是这题不能就这么完了啊。我们得寻找结论。比起麻烦的猜想和推导，还是找规律靠谱些。

于是我把 $max\{a,b,c,d\}\le 14$ 的 dp 值都打了出来，发现对于固定的 $b,c,d$，$a$ 从小(从0)变到大会让 DP 值为 $\{1,1,1,1...\}$、$\{1,0,1,0,...\}$ 和 $\{0,1,0,1,...\}$ 三种情况 ，于是我又分别把满足三种变化方式的 $b,c,d$ 分别打了出来：

1. 第一种 $\{1,1,1,1,...\}$：满足 $(b+d)\%3=2$ 。
2. 第二种 $\{1,0,1,0,...\}$：满足 $(b+d)\%3=(c+1)\%2$
3. 第三种 $\{0,1,0,1,...\}$：满足 $(b+d)\%3=c\%2$

所以规律就找到了！当且仅当 $(b+d)\%3=2$ 或 $(b+d)\%3=(c+a+1)\%2$ 时先手必胜！

CODE

#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 10005
#define LL long long
#define DB double
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define mymax(a,b,c,d) max(max((a),(b)),max((c),(d)))
LL read() {
	LL f = 1,x = 0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s == '-')f=-f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
const int MOD = 1000000007;
int n,m,i,j,s,o,k;
bool dp[145][65][35][16];// 140 , 63 , 33 , 14
char A[MAXN],B[MAXN],C[MAXN],D[MAXN];
int main() {
	freopen("a.in","r",stdin);
	freopen("a.out","w",stdout);
	int T = read();
	memset(dp,1,sizeof(dp));
	dp[0][0][0][0] = 0;
	for(int d = 0;d <= 14;d ++) {
		for(int c = 0;c <= 33;c ++) {
			for(int b = 0;b <= 63;b ++) {
				for(int a = 0;a <= 140;a ++) {
					if(a+b+c+d && a+2*b+3*c+4*d <= 140) {
						dp[a][b][c][d] = 1;
						if(a>0) dp[a][b][c][d] &= dp[a-1][b][c][d];
						if(b>1) dp[a][b][c][d] &= dp[a][b-2][c][d];
						if(c>2) dp[a][b][c][d] &= dp[a][b][c-3][d];
						if(d>3) dp[a][b][c][d] &= dp[a][b][c][d-4];
						if(d) {
							dp[a][b][c][d] &= dp[a+1][b][c+1][d-1];
							dp[a][b][c][d] &= dp[a][b+2][c][d-1];
						}
						if(c) {
							dp[a][b][c][d] &= dp[a+1][b+1][c-1][d];
						}
						if(b) {
							dp[a][b][c][d] &= dp[a+2][b-1][c][d];
						}
						dp[a][b][c][d] ^= 1;
//						if(1||(a+b*2+c*3+d*4) & 1) printf("%d ",dp[a][b][c][d]);
					}
				}
//				if(dp[0][b][c][d] == 0 && dp[1][b][c][d] == 1) printf("bcd: %d %d %d",b,c,d);
//				ENDL;
			}
//			ENDL;
		}
//		ENDL;
	}
	while(T --) {
		int la,lb,lc,ld;
		scanf("%s", A + 1);
		la = strlen(A + 1);
		
		scanf("%s", B + 1);
		lb = strlen(B + 1);
		
		scanf("%s", C + 1);
		lc = strlen(C + 1);
		
		scanf("%s", D + 1);
		ld = strlen(D + 1);
		int a = 100,b = 100,c = 100,d = 100;
		if(mymax(la,lb,lc,ld) <= 3) {
			sscanf(A+1,"%d",&a);
			sscanf(B+1,"%d",&b);
			sscanf(C+1,"%d",&c);
			sscanf(D+1,"%d",&d);
		}
		if(mymax(a,b,c,d) <= 14) {
			printf("%d\n",dp[a][b][c][d]);
			continue;
		}
		a = b = c = d = 0;
		for(int i = 1;i <= la;i ++) a = (a*10+(A[i]-'0')) % 2;
		for(int i = 1;i <= lc;i ++) c = (c*10+(C[i]-'0')) % 2;
		for(int i = 1;i <= lb;i ++) b = (b*10+(B[i]-'0')) % 3;
		for(int i = 1;i <= ld;i ++) d = (d*10+(D[i]-'0')) % 3;
		if((b+d)%3 == 2 || (b+d)%3 == (c+a+1)%2) printf("1\n");
		else printf("0\n");
	}
	return 0;
}
// bs: (b+d)%3 = 2 , ((b+d)%3 = (c+a+1)%2)