[CF1519C] Berland Regional （数论分块）

题面

有 n 个学生和 n 所大学，每个学生在其中一所大学中学习，且各有一个能力值 $s_i$ 。

某次组队打比赛的召集令会给一个数字 k ，表示团队数量。然后每所大学会先把自己的所有学生按照 $a_i$ 从大到小排序，选前 $k$ 个组个队，前 $k+1$ 到 $2k$ 个组个队，……剩下最后不足 $k$ 个学生，这些学生就不能组队。

每次召集的总能力值为所有组出来的队伍的每个学生的能力值之和。现在有 $n$ 次召集令，给出的 $k$ 分别是 1~n，分别求每次召集的总能力值。

题解

我这个做法被 nlogn 做法吊打，本愧于过此题，然所用方法有点思维，不如写来搏之一笑。

分别求每个学生的贡献。

假设当前学生在他(她)的大学里排名为倒数第 $y$ ，而大学里总共 $x$ 个学生，那么该学生对数字为 $k$ 的召集令有贡献当且仅当
$$x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k<y$$
变一下式子：
$$\begin{gathered} x-\lfloor \frac{x}{k}\rfloor \ast k<y \\ \iff x-y<\lfloor \frac{x}{k}\rfloor \ast k \\ \iff \lfloor \frac{x-y}{k}\rfloor <\lfloor \frac{x}{k}\rfloor \end{gathered}$$

如果我们已知 $\lfloor \frac{x}{k}\rfloor =d$，那么
$$\begin{gathered} \lfloor \frac{x-y}{k}\rfloor <d \\ \iff x-y<dk \\ \iff \lfloor \frac{x-y}{d}\rfloor <k \end{gathered}$$

好，这是个关于 $k$ 的范围的表达式了，由于我们知道 $\lfloor \frac{x}{k}\rfloor$ 随着 $k$ 的不同只有大约 $\sqrt{x}$ 个取值，因此我们可以数论分块枚举，每次枚举到一个区间 $[l,r]$ 和 $d$，就对答案序列的 $[\max (\lfloor \frac{x-y}{d}\rfloor +1,l),r]$ 产生贡献。

对每个学生都计算一次，复杂度 $O(n\sqrt{n})$。

CODE

#include<set>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 200005
#define ENDL putchar('\n')
#define LL long long
#define DB double
#define lowbit(x) ((-x) & (x))
LL read() {
	LL f = 1,x = 0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
int n,m,i,j,s,o,k;
int a[MAXN];
vector<int> u[MAXN];
LL sm[MAXN];
bool cmp(int x,int y) {return a[x] > a[y];}
int main() {
	int T = read();
	while(T --) {
		n = read();
		for(int i = 1;i <= n;i ++) u[i].clear(),sm[i] = 0;
		for(int i = 1;i <= n;i ++) {
			s = read(); u[s].push_back(i);
		}
		for(int i = 1;i <= n;i ++) {
			a[i] = read();
		}
		for(int i = 1;i <= n;i ++) {
			sort(u[i].begin(),u[i].end(),cmp);
			int X = u[i].size();
			for(int j = 0,nm = X;j < (int)u[i].size();j ++,nm --) {
				int con = a[u[i][j]];
				sm[1] += con; sm[nm+1] -= con;
				for(int l = nm+1,r = 1;l <= X;l = r+1) {
					r = X/(X/l); int d = X / l;
					int ll = max(l,((X-nm)/d) + 1);
					if(ll <= r) {
						sm[ll] += con; sm[r+1] -= con;
					}
				}
			}
		}
		for(int i = 1;i <= n;i ++) {
			sm[i] += sm[i-1];
			printf("%lld ",sm[i]);
		}ENDL;
	}
	return 0;
}