[CF1526D] Kill Anton（逆序对，搜索）

题面

$\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{T}\mathrm{O}\mathrm{N}$ 的基因由 $\mathrm{A},\mathrm{N},\mathrm{T},\mathrm{O}$ 四种碱基排列组成。$\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{T}\mathrm{O}\mathrm{N}$ 的身体很智能，一旦发现基因序列被改变了，就会通过尽量少的次数交换相邻两个碱基，来还原回开始的基因序列。

现在给出 $\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{T}\mathrm{O}\mathrm{N}$ 的基因序列，长为 $N$ ，求一个打乱后的该序列，满足还原时需要交换操作最少次数最多，输出任意一个符合条件的序列。

$1\le N\le 10^5$.

题解

我们先考虑最少操作次数怎么求。根据做题经验，有一个贪心思路：把相同类型的碱基不交叉地一一配对，然后把每个初始位置的目标位置拿出来组成一个序列（因此这应该是个1~N的排列），最小操作次数即该排列的逆序对数。

那么，我们不妨把打乱后的序列也这样一一对应回去，每个位置上记录初始位置的编号。容易发现，对于同一种碱基的所有位置，初始位置的编号一定是单增的。在满足这个条件的情况下，我们可以想想怎么最大化逆序对数。

这里有一个结论：一定存在一种逆序对最多的方案，满足同种碱基都相邻。

• 证明：我们用调整法，假设序列中有这么一段两边都有个 A（省略号中间没有 A）：A......A，前面一个的初始位置为 $i$ ，后面一个的初始位置为 $j$，此时 $i<j$。令省略号中间比 $i$ 小的数量为 $a$ ，比 $j$ 大的数量为 $b$ 。如果 $a\ge b$，把右边的 A 移到省略号左边，逆序对的变化量为 $a-b\ge 0$ 。如果 $a<b$ ，把左边的 A 移到省略号右边，逆序对的变化量为 $b-a>0$。两种使 A 相邻的方法总有一个不会让逆序对数减小，得证。

那么，由于只有四种碱基，全排列有 $M!=4!=24$ 种，最终的序列也只有这么多种，其中一定存在一个答案序列，我们暴力枚举找它。复杂度 $O(M!n\log n)$。

还有一种 $O(n)$ 的做法。交换次数不一定要求逆序对，还可以求初始与目标的距离。由于我们知道同种碱基要相邻，可以通过预处理前缀和等方式，快速判断每种碱基段在某个位置对答案贡献为多少，这样一来，枚举全排列时就不用每次 $O(n)$ 求答案，而是常数时间。总时间复杂度就主要只有输入和预处理了。

CODE

$O(24n\log n)$

#include<set>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 400005
#define ENDL putchar('\n')
#define LL long long
#define DB double
#define lowbit(x) ((-x) & (x))
#define INF 0x3f3f3f3f
LL read() {
	LL f = 1,x = 0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
int n,m,i,j,s,o,k;
char s0[10] = "ANTO";
char ss[MAXN];
int c[MAXN];
void addc(int x,int y){while(x<=n)c[x]+=y,x+=lowbit(x);}
int sum(int x){int s=0;while(x>0)s+=c[x],x-=lowbit(x);return s;}
void INIT() {for(int i = 1;i <= n;i ++) c[i] = 0;}
LL as = 0,CN;
char D[MAXN],e[MAXN];
void ADD(int x) {
	D[CN --] = ss[x];
	as += sum(x-1); addc(x,1);
	return ;
}
int main() {
	int T = read();
	while(T --) {
		scanf("%s",ss + 1);
		n = strlen(ss + 1);
		for(int i = 1;i <= n;i ++) e[i] = ss[i];
		LL ans = -1;
		for(int a=0;a<4;a++) {
			for(int b=0;b<4;b++) if(b!=a) {
				for(int c=0;c<4;c++) if(c!=a&&c!=b) {
					for(int d=0;d<4;d++) if(d!=a&&d!=b&&d!=c) {
						INIT();
						CN = n;as = 0;
						for(int i = n;i > 0;i --) if(ss[i] == s0[d]) ADD(i);
						for(int i = n;i > 0;i --) if(ss[i] == s0[c]) ADD(i);
						for(int i = n;i > 0;i --) if(ss[i] == s0[b]) ADD(i);
						for(int i = n;i > 0;i --) if(ss[i] == s0[a]) ADD(i);
						if(as > ans) {
							for(int i = 1;i <= n;i ++) e[i] = D[i];
							ans = as;
						}
					}
				}
			}
		}
		for(int i = 1;i <= n;i ++) putchar(e[i]);ENDL;
	}
	return 0;
}