[六省联考2017]组合数问题 （生成函数，矩阵快速幂）

题面

给出 $n,p,k,r(1\le n\le 10^9,0\le r<k\le 50,2\le p\le 2^{30}-1)$，求
$$\sum _{i=0}^{\infty }{C}_{nk}^{ik+r}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$$

题解

可以利用生成函数+二项式定理：
$$\begin{gathered} \sum _{i=0}^{\infty }{C}_{nk}^{ik+r}=\sum _{i=0}^{\infty }[[ik+r]](x+1{)}^{nk} \\ =\sum _{i=0}^{\infty }[[i]](x+1{)}^{nk}\cdot [i\%k==r] \end{gathered}$$

这么转化用意已经很明显了，我们把它看成是一个环状多项式。把卷积定义为 $C_{(i+j)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k}:=\sum A_i\cdot B_j$ ，那么多项式就只有最多 $k$ 项，暴力卷积+快速幂就行。

也可以利用递推公式，这个是最好想的：
$$\begin{gathered} C^{\prime }(n,m)=\sum _{i}C(n,ik+m), \\ {C}^{\prime }(i,j)+C^{\prime }(i,(j+1)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k)\to C^{\prime }(i+1,(j+1)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k) \end{gathered}$$

还是把状态合并的思路，所有下标模 $k$ 同余的项放到一起，递推式子仍然成立，那么就可以用矩阵加速。这个矩阵很特别，可以用多项式优化。

CODE

#include<set>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 405
#define ENDL putchar('\n')
#define LL long long
#define DB double
#define lowbit(x) ((-x) & (x))
LL read() {
	LL f = 1,x = 0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
void putuint(int x) {
	if(!x) return ;
	putuint(x/10);putchar(x%10+'0');
}
void putint(int x) {if(x==0)putchar('0');if(x<0)putchar('-'),x=-x;putuint(x);}

int n,m,i,j,s,o,k;
int MOD = 1;
struct poly{
	int n;
	int s[50];
	poly(){n = 0;}
	void set(int N) {
		n = N;for(int i = 0;i < n;i ++) s[i] = 0;
	}
};
poly operator * (poly a,poly b) {
	poly c; c.set(a.n);
	for(int i = 0;i < a.n;i ++) {
		for(int j = 0;j < b.n;j ++) {
			(c.s[(i+j)%c.n] += a.s[i]*1ll*b.s[j] % MOD) %= MOD;
		}
	}return c;
}
poly qkpow(poly a,LL b) {
	poly res; res.set(a.n);res.s[0] = 1;
	while(b > 0) {
		if(b & 1) res = res * a;
		a = a * a; b >>= 1;
	}return res;
}

int main() {
	LL N = read();MOD = read();
	k = read(); int r = read();
	poly A,B;B.set(k);
	B.s[0] = 1;B.s[1%k] += 1;
	A = qkpow(B,N*k);
	printf("%d\n",A.s[r]);
	return 0;
}