【题解】AT5636 Non-triangular Triplets

Sol

首先我们钦定 \(c_i=2 \times n -1 + i + k\)。
然后考虑下面一种构造方案。
然后对于 \(i \leq \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor\)，\(a_i=k-1+2 \times i\)，\(b_i=k+n+ (n \ and \ 1)-i+1\)。
对于 \(i > \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor\)，记 \(x=i - \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor\)，\(a_i=k + 2 \times (x-1)\)，\(b_i=k + 2 \times n - x\)。
对于这样的构造方式，实质上是 \(a_i=a_{i-1}+ 2\)，\(b_i=b_{i-1}-1\)，所以只要第一组成立那么便有解。
把第一组的式子拆出来就是 \(k \leq \left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil\)。可以证明当不满足这一条件时原题无解。
然后假设原问题有解，那么

\[a_i+b_i \leq c_i \]

\[\sum a_i+b_i \leq \sum c_i \]

\[\sum a_i+b_i + c_i \leq \sum 2 \times c_i \]

\[\frac{3 \times n \times (3 \times n-1)}{2} + 3 \times n \times k \leq \sum 2 \times c_i \]

又有

\[\sum c_i \leq \sum_{i=2n}^{3n-1} i+k \]

拆一下式子

\[\sum c_i \leq \frac{n \times (5 \times n-1)}{2} +n \times k \]

综上

\[\frac{3 \times n \times (3 \times n-1)}{2} +3 \times n \times (3 \times n-1) + 2 \times n \times k \]

然后拆出来就是

\[2 \times k \leq n+1 \]