网络流 24 题简单sol

最长递增子序列

第一问直接 dp 即可。
第二问考虑最大流。
按照第一问所做的 dp 数组建一张分层图，其中第 \(x\) 层的点都是 \(dp_i=x\) 的 \(i\)。
把每个点拆成入点和出点，每个点内入点和出点连一条容量为 \(1\) 的边。
然后考虑给相邻两层之间的点连边。对于第 \(x\) 层的点 \(i\) 和第 \(x+1\) 层的点 \(j\) 之间有边的条件为 \(i<j\) 且 \(dp_i < dp_j\)，若满足则连一条流量为 \(1\) 的边。
第三问把点 \(1\) 和 点 \(n\) 限制的边改为 \(+ \infty\) 即可。

飞行员配对方案问题

首先增加源汇点 \(S\) 和 \(T\)。
源点向第一个集合连流量为 \(1\) 的边，汇点向第二个集合连流量为 \(1\) 的边，读入的边连流量为 \(+ \infty\) 的边。判边是否有流量即可。

孤岛营救问题

想了半天怎么建模，打开题解一看不是网络流就很离谱。
发现钥匙数量很少，考虑状压。记 \(dis_{x,y,k}\) 表示走到 \((x,y)\)，当前钥匙的状态为 \(k\) 的最短路。
bfs 即可。

运输问题

建立源汇点 \(S\) 和 \(T\)
\(S\) 向仓库连流量为 \(a_i\) 费用为 \(0\) 的边。
商店向 \(T\) 连流量为 \(b_i\) 费用为 \(0\) 的边。
对于 \(1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq m\)，连流量为 \(+ \infty\) 费用为 \(cost_{i,j}\) 的边。
跑费用流即可。
第二问把 \(cost\) 数组取反即可。

数字梯形问题

依旧建立源汇点 \(S\) 和 \(T\)。
对于第一问，
源点与第一行的点连流量为 \(1\) 费用为 \(0\) 的边。
最后一行的点与汇点连流量为 \(1\) 费用为 \(0\) 的边。
把每个点拆成入点和出点，连流量为 \(1\) 费用为 \(-a_{i,j}\) 的边。
每个点往左下和右下的点连流量为 \(1\) 费用为 \(0\) 的点。
第二问只需把与汇点连的边和入点与出点连的边连的流量改为 \(+ \infty\) 即可。
第三问在第一问的前提下把除了与源点连的边的流量改为 \(+ \infty\) 即可。

航空路线问题

把每个点拆成入点和出点，连流量为 \(1\) 费用为 \(1\) 的边。
把 \(1\) 和 \(n\) 的入点和出点连流量为 \(2\) 费用为 \(1\) 的边，因为起点终点要经过两次。
读入的边则将第一个点的出点向第二个点的入点流量为 \(1\) 费用为 \(0\) 的边。
跑出来的最大流即为路径数。
分下列情况讨论。

• 最大流为 \(2\)，那么经过城市数即为最大费用 \(-2\)，因为起点终点都经过了两次。
• 最大流为 \(1\)，且有一条边直接连接起点和终点，那么直接从起点走到终点再走回起点即可。
• 其余情况皆无解。

跑最大费用最大流即可。
求方案的话两遍 dfs 即可。

深海机器人问题

建立源汇点 \(S\) 和 \(T\)。
对于所有未到边界的点 \((i,j)\) 向 \((i,j+1)\) 和 \((i+1,j)\) 连一条流量为 \(1\) 费用为 \(x\) 的边和一条流量为 \(+ \infty\) 费用为 \(0\) 的边。
\(S\) 向所有机器人的起点连一条流量为人数费用为 \(0\) 的边。
\(T\) 向所有机器人的终点连一条流量为人数费用为 \(0\) 的边。
跑最大费用最大流即可。

太空飞行计划问题

最大权闭合子图板子。

方格取数问题

最大权闭合子图板子。
对方格黑白染色，源点连黑点，白点连汇点，黑点连白点。