脑子漂流记

前情提要：由于 \(f(x)\) 在 \((-\infty,0]\) 单增，所以 \(D(y)\) 不存在负数，对于 \(y\le 0\)。

命题一：不存在 \(x>0\) 满足 \(f(x)\in(0,f(0))\)

证明：负数 \(-x\in D(x)\)；存在 \(y<0,f(x)\ge f(y)\)，则 \(D(x)\subseteq D(y)\)，后者没有负数而前者有，矛盾，原命题成立。

命题二：不存在 \(x>0\) 满足 \(f(x)\ge f(0)\)

证明：若存在，设 \(x\) 为最小的满足 \(x>0,f(x)\ge f(0)\)，则根据命题一 \(z\in(0,x),f(z)\ge 0\)。根据题目条件首先可以得到 \(x\ge1\)；考虑 \(y_1=-0.1,y_2=-0.2\)，则有 \(x+0.1\in D(y_1)\)，因为 \(f(y_1)\ge f(y_2)\)，所以 \(D(y_1)\subseteq D(y_2)\)，所以 \(x+0.1\in D(y_2)\)，所以有 \(f(x-0.1)>f(-0.2)\)；由于 \(x\ge 1\)，\(x-0.1\in(0,x)\)，即 \(f(x-0.1)<0\)，而 \(f(-0.2)\) 大于 0，矛盾，原命题成立。

综合以上命题可以得出结论：\(f(x)\le 0\) 对 \((0,+\infty)\) 恒成立。

在此结论基础上得出命题三：对于 \(x>0\)，有 \(f(y)>f(x)\) 对 \(y>x\) 恒成立

证明：若存在 \(y>x\) 满足 \(f(y)\le f(x)\)，考虑到 \(y-x\in D(x-y)\)，由于 \(f(x) <f(y-x)\) 所以 \(D(y-x)\subseteq D(x)\)，则 \(y-x\in D(x)\)，则 \(f(y)>f(x)\)，与假设矛盾，故原命题成立。

所以 \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 单增。