QOJ17186 哈夫曼树 II

模拟赛 T3。我对此题的开发不足百分之五十。

题意

给定长为 \(n\) 的序列 \(a\)，你需要构造一个满二叉树，使得有恰好 \(n\) 个叶子，将 \(n\) 个 \(a_i\) 填到叶子上，令 \(a_i\) 所填的叶子深度为 \(d_i\)（根的深度为 0），则权值是 \(\sum a_i\cdot d_i\)，求权值最小值。

\(n\le 2^{18},a_i\le 10^9\)

分析

先考虑一个深度序列是否合法，最优解肯定是把较大的 \(a_i\) 填到较小的深度里。如果你会手玩，或者你见过这个也许很经典的结论，你会发现 \(\sum 2^{-d_i}=1\)。考虑先让 \(d_i=0\)，然后再依次减少 \(d_i\)，这样的话，相当于有一个 \(d\times n\) 的矩阵，每一列要选择一段前缀，选择点 \((i,j)\) 会让总和减少 \(2^{-j}\)，增加代价为 \(a_i\)。由于你不选前缀一定不优（因为同样的代价前面减的更多）所以可以把前缀的限制去掉。从下往上考虑每一行，对于第 \(d\) 行，因为要是整数，所以必然选偶数个，根据贪心必然是第一和第二捆绑，第三和第四捆绑，以此类推，捆绑后的权值变为 \(2^{-(d-1)}\)，把它丢到第 \(d-1\) 行考虑即可，然后在 \(d-1\) 行再做一遍，直到第 \(1\) 行，此时选出前 \(2(n-1)\) 个点求和即可。

为啥是对的？（以下语言大概率在乱写）首先将贡献拆到每一个点上，一个点的贡献为它子树内的叶子权值和，则我们取出的 \(2(n-1)\) 个点就是树上 \(2(n-1)\) 个点的权值。首先，你手玩一下可以发现一个点永远不会跟它子树内的点连边，其次，第 \(i\) 层的叶子权值往上合并出的点的权值就是第 \(i\) 层点的贡献。所以就大致感性理解了这个题的正确性（？）

如果往上合并用归并将原层的点和往上合的点排序，则暴力做的复杂度是 \(O(nd^2)\) 的。而根据哈夫曼树的经典结论，深度增长大致是斐波那契数列级别即 \(O(\log V)\) 的（大概是 60 多），所以复杂度是 \(O(n\log^2V)\)；由于每一层的权值是相同的，所以你从 \(d\) 向 \(1\) 层合并实际上等价于 \(d-1\) 向 \(0\) 合并，所以你往上迭代 \(d\) 次求的就是 \(d\) 的答案，复杂度 \(O(n\log V)\)。