图计数问题没做

DAG 计数

最经典的一类问题。

问题：给定一张图，求选出若干条边使得图最终是 DAG。

解法：每次转移枚举所有零度点（相当于对于一个图，将所有零度点剥掉，然后剩下的图是一个子问题），然后让零度点与其他点连边。做法的问题在于难以保证零度点只有枚举的这些，所以考虑容斥，钦定零度点点集为 \(S\)，剩下的没有保证，这样随便连边即可。那么容斥系数是多少呢？假设正确的零度点点集为 \(S\)，那么这个方案会被算 \(\sum_{i=1}^{\lvert S\rvert}\binom{\lvert S\rvert}{i}f(i)\) 次，\(f(i)\) 是一个关于 \(i\) 的容斥系数，取 \(f(i)=(-1)^{i-1}\) 即可。复杂度 \(O(3^n+2^n\operatorname{poly}(n))\)，后面的复杂度视具体情况而定，但前面的应该不太会变。

例题：

• P6846 Amusement Park：需要求的是变向次数之和，发现此时零度点和其他点的连边方案数不太好算（但是精细实现应该还是能做到 \(O(3^n)\)，但不优美），注意到求的是变向次数，所以一种方案将全部边反向后是另一种方案，两者总和为 \(m\)，所以所有方案变向次数平均值是 \(\frac{m}{2}\)，求无向图定向方案后再乘上平均值即可。
• ABC306H Balance Scale：这题先考虑没有 =，那么大小关系构成一张图，我们要给其定向，矛盾说明存在一个环，那么就相当于 DAG 计数；考虑 =，发现只有在加入零度点时零度点之间的边要选 =，但你发现容斥系数有问题。咋改呢？你发现，还是假设恰好的情况，所有 = 会将零度点连成若干个连通块，注意到如果一个连通块被拆开了，那么这个方案数对当前情况是没贡献的，所以容斥系数实际上变成了 \((-1)^{连通块数-1}\)。
• P6295 有标号 DAG 计数：还是同理，设 \(f_n\) 表示 \(n\) 个点的 DAG 数量（不保证连通），\(f_n=\sum_{1\le i\le n}f_{n-i}2^{i(n-i)}\binom{n}{i}(-1)^{i-1}\)，为了方便多项式优化将 \(i(n-i)\) 拆成 \(\binom{n}{2}-\binom{i}{2}-\binom{n-i}{2}\)（按照完全平方公式拆会导致指数上不为整数，不好处理），变成 \(\dfrac{f_n}{2^{\binom{n}{2}}n!}=\sum_{1\le i\le n}\dfrac{f_{n-i}}{2^{\binom{n-1}{2}}(n-i)!}\cdot\dfrac{(-1)^{i-1}}{2^{\binom{i}{2}}i!}\)，设 EGF \(\hat{F}(x)=\sum_{n\ge 0}\dfrac{f_n}{2^{\binom{n}{2}}n!},\hat{G}(x)=\sum_{n\ge 0}\dfrac{(-1)^{n-1}}{2^{\binom{n}{2}}n!}\)，注意由于不能从 0 转移所以设 \(g_0=0\)，则有 \(\hat{F}=\hat{F}\cdot\hat{G}+1\rightarrow\hat{F}=\dfrac{1}{1-\hat{G}}\)，\(+1\) 是因为 \(f_0=1\)。原题要连通，而一般图是连通图的 exp，所以连通图是一般图的 ln，答案即为 \(\ln\hat{F}(x)\)。复杂度 \(O(n\log n)\)。

强连通图计数

嘟嘟嘟。

双连通图计数

咕咕嘎嘎。

训练题目

QOJ6275 大度一点

你需要对一个点集求答案，直接设 \(f_S\) 表示 \(S\) 的答案可能会死的很惨。设 \(f_{i,S}\) 表示 \(S\) 为点集，且点集中编号 \(\le i\) 的点全部二度（\(deg\ge 2\)）。初始随便连，转移的时候考虑在 \(f_{i-1,S}\) 的基础上减掉“加上 \(i\) 就不合法”的方案数，只有两种情况：\(deg=0\) 或 \(deg=1\)。\(deg=0\) 的情况直接删掉 \(i\) 点，即减掉 \(f_{i-1,S\backslash\{i\}}\)；\(deg=1\) 的话，我们不断删掉编号 \(\le r\) 的叶子，假设删掉的点是 \(u_1,u_2,\cdots,u_k=i\)，则最后剩下的图是 \(f_{i-1,S\backslash\{u_1,u_2,\cdots,u_k\}}\) 中的情况，这个东西我们可以设一个辅助数组 \(g_{i,S}\) 表示点集为 \(S\) 当前点为 \(i\) 来做。

说一下细节，注意一下辅助数组初始点是可以有 \(>i\) 的，但是转移过程中不能有 \(>i\) 的点出现，并且初始点不能是 \(i\) 本身。

瓶颈在于辅助数组的转移，复杂度 \(O(2^nn^3)\)。

联合省选 2024 D2T2 重塑时光

先考虑什么样的排列划分是合法的。我们将偏序关系看成边，则首先要求划分的每一段内部是合法的，并且若将整个段缩成一个点则新图也是合法的。对于第一个条件，只需要满足段内部是段内无向图的一个合法的拓扑序即可，对一个点集的拓扑序计数是平凡的；对于第二个条件，只需要满足缩点后的图是一张 DAG 即可。

我们考虑对 DAG 计数，套用 DAG 容斥的经典方式，设 \(f_{S,i}\) 表示选了 \(i\) 个连通块点集为 \(S\) 的答案，\(g_{S,i}\) 表示选了 \(i\) 个连通块点集为 \(S\) 且钦定选的这些块是零度点的答案，拓扑序的方案数被算在里面了。\(g\) 的转移枚举下一个段的点集是多少即可，\(f\) 的转移枚举零度点的点集和连通块个数即可，别忘了带上容斥系数。注意由于零度点之间不钦定顺序，而你的 \(g\) dp 方案多半会带顺序，所以可能要除掉一个阶乘。

直接转移瓶颈在 \(f\) 的转移，为 \(O(3^nn^2)\)，剪枝足够优秀足以通过，若要继续优化可以发现 \(f\) 转移时枚举连通块个数那一部分是个卷积，拉插优化即可，具体来说就是把 \(f_{S,i}\) 看成 \(x^i\) 的系数，然后把这个“多项式”变成点值形式，这样卷积复杂度降为 \(O(n)\)，然后再用拉插把原来的系数插出来，复杂度降为了 \(O(3^nn)\)。