博弈论没做

经典博弈问题

阶梯 nim 游戏

题意：有 \(n\) 堆石子，每次可以选择将第 \(i(i\ge 1)\) 堆中的若干个石子放到第 \(i-1\) 堆，无法操作者败，求谁必胜。

结论：先手必败当且仅当 \(a_1\oplus a_3\oplus \cdots\oplus a_{n-[2|n]}=0\)，即所有奇数下标异或起来为 0。

斐波那契 nim 游戏

题意：有 \(n\) 个石子，先手可以任取石子但不能取完，之后每个人取的个数不能超过上一个人取的石子数的两倍。无法操作者败，求谁必胜。

结论：先手必败当且仅当 \(n\) 为斐波那契数。

威佐夫博弈

题意：有两堆石子，石子数分别为 \(a,b(a\le b)\)，每次可以在一堆中任取石子或在两堆中任取数量相同的石子。无法操作者败，求谁必胜。

结论：先手必败当且仅当 \(a=\lfloor(b-a)\phi\rfloor\)，其中 \(\phi=\frac{\sqrt 5+1}{2}\)。

Turning Turtles

题意：有 \(n\) 枚硬币，初始局面给定，每次选择一个正面朝上的 \(i\) 将其翻面，然后可以选择一个 \(j<i\) 并将其翻转，也可以不操作。无法操作者败，求谁必胜。

结论：设正面朝上的下标集合为 \(S\subseteq\{1,2,\cdots,n\}\)，则先手必败当且仅当 \(\oplus_{i\in S}i=0\)。

P8382 [POI 2004] Gra

发现这题不是我们所熟知的任何博弈论模型，看起来也不太能打表和套 sg，但看起来很像阶梯 nim，考虑先分析一波。

由于走到 \(m\) 就赢，所以走到 \(m-1\) 必然输（如果初始 \(m-1\) 有值，答案肯定为 \(m-1\) 所在连续段长度）。为了不走到 \(m-1\)，我们必然会止步于 \(m-2\)，只有 \(m-2\) 处堆满了才会操作，也就是失败。而如果将每个连续段（连续段长度可以为 0）以及其后面一个空位看成一个阶梯，那么原题就转化成了阶梯 nim 博弈，枚举一下阶梯和操作数量，套用结论即可。复杂度 \(O(n\log n)\) 或 \(O(n)\)。