Petrozavodsk Summer 2024. Day 1. Welcome Contest 补题记录

B. Bottles

中档计数题。然而我不会。

先把分母 \((e+p+w)!\) 去掉，那么分子就相当于每瓶药水都有编号的情况下合法的方案数。

看到每种毒的效果不同，如果钦定去世的时刻对于毒的计数会非常麻烦，考虑枚举第一次嗑药的时刻 \(i\)，那么为了不被毒死，对于一些毒药，他有一段前缀不能填（对于毒药 \(j\) 前缀是 \(i-t-j\)），对于另一些毒药没有限制，设 \(q=i-t-1\)，考虑从限制由紧往松填，由于毒和药都可以填在 \(i\) 之后，而毒可以填在 \(i\) 之前，而水能任意填，所以先填药，方案数为 \(A_{e+p+w-i}^{e-1}\)，然后考虑有前缀限制的毒，推一推可以发现方案数都为 \(p+w-q\)，剩下的毒方案数仍然是排列数，剩下的水的方案数自然是阶乘。

时间复杂度 \(O(n\log n)\) 或 \(O(n)\)。

E. Experiments With Divine Trees

不难发现可以通过操作将一个位置的币放到任意一个位置，所以我们可以任意排列币的顺序，而与初始局面无关，而我们只需要满足存在一颗子树使得子树大小等于 Au 或 Cu 的数量即可。枚举存在的子树大小，方案数自然是组合数。

然后再考虑减掉初始合法但是删掉叶子不合法的情况。这种情况下，相当于任意删掉一个叶子都不会合法，枚举金币的子树大小 \(i\)（为了方便，钦定 \(i\le \frac{n}{2}\)，然后答案再乘一个 2 即可），那么该子树内的叶子必然全是铜币，子树外的叶子全是金币，而删掉子树内的任意一个叶子都找不到一个大小为 \(i\) 的子树，删掉子树外的任意一个叶子都找不到一个大小为 \(i-1\) 的子树。对于第一个条件，如果存在两个大小为 \(i\) 的子树，那么一定不满足条件（即合法）；否则，如果其父亲只有该子树根节点一个儿子（即度数小于等于 2），那么向父亲扩展一位也能合法。对于第二个条件，如果存在一个大小为 \(i-1\) 的子树或存在另一个大小为 \(i\) 的子树，那么也一定合法；反之一定不合法。这里由于钦定了 \(i\le \frac{n}{2}\)，避免讨论了很多其他情况。复杂度线性。