Petrozavodsk Winter 2025. Day 1. Welcome JAGain Contest 补题记录

C. Camp

根据经典结论，能合法匹配当且仅当不存在绝对众数。容斥一下，枚举绝对众数的出现次数 \(p\)，那么不合法的方案数为 \(m\sum_{i=n+1}^{2n}\dbinom{2n}{p}(m-1)^{2n-p}\)，场上蠢到枚举 \(p\) 对 \(n\) 算贡献，然而我们可以发现这个式子是容易递推的：

\[f_{n+1}=\sum_{i=n+2}^{2n+2}\dbinom{2n+2}{p}(m-1)^{2n-p+2}=\sum_{i=n}^{2n}\left(\dbinom{2n}{p+2}+2\dbinom{2n}{p+1}+\dbinom{2n}{p}\right)(m-1)^{2n-p} \]

\[=\sum_{p=n+2}^{2n}\dbinom{2n}{p}(m-1)^{2n-p+2}+2\sum_{i=n+1}^{2n}\dbinom{2n}{p}(m-1)^{2n-p+1}+\sum_{i=n}^{2n}\dbinom{2n}{p}(m-1)^{2n-p} \]

\[=(m-1)^2f_n-\dbinom{2n}{n+1}(m-1)^{n+1}+2(m-1)f_n+f_n+\dbinom{2n}{n}(m-1)^n \]

\[=m^2f_n+\dbinom{2n}{n}(m-1)^n-\dbinom{2n}{n+1}(m-1)^{n+1} \]

时间复杂度 \(O(n\log n)\) 或 \(O(n)\)。

I. Integers and Bracket Sequences

考虑反悔贪心，一个大根堆维护左括号，一个小根堆维护跟左括号匹配的右括号。从前往后处理，如果是左括号就丢到大根堆里；否则，我们可以让右括号跟左括号匹配，或者替换掉一个已经匹配上的右括号。如果新建匹配更优，那么弹掉大根堆顶并将右括号插入小根堆；否则，弹掉小根堆顶并将右括号插入小根堆。如果一个右括号被另一个右括号弹掉了，那么被弹掉的右括号不可能出现在最优解里，容易证明。时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

J. Just an Edit Distance

考虑编辑距离的经典求法是设 \(f_{i,j}\) 为 \(s\) 匹配到 \(i\)，\(t\) 匹配到 \(j\)，转移可以考虑匹配、删除、插入、替换。回到原题，同理的，设 \(f_{i,j,k}\) 为 \(s\) 匹配到 \(s_{i,j}\)，\(t\) 匹配到 \(k\)，转移是同理的，发现在删除时会出现 \(k\) 相同的点之间的转移，跑 dij 跑不过去，但注意到答案不超过 \(k\)，所以开个桶记录最短路即可，时间复杂度 \(O(l^2+nml),l=|t|\)。