UOJ616 JOISC2021 古老的机器

题意

通信题。

有两个人 A 和 B，B 手上有一个看不见内容的字符串，A 能看见这个字符串的内容，字符集为 X,Y,Z。A 负责把信息传输给 B，B 负责删除字符串。定义一次好的删除是指某一次删除了 \(y\) 满足删除前存在 \(x<y<z\) 使得 \((x,y),(y,z)\) 全被删光，且 \(x\) 上为 X，\(y\) 上为 Y，\(z\) 上为 Z。B 需要保证他的删除顺序中好的删除次数尽可能多。A 可以给 B 传输若干个 01，按照传输 01 数量给分。满分要求 \(7\times10^4\)，有分要求 \(2\times10^5\)。

\(n\le 10^5\)

分析

不难发现两个基本事实：

1. 第一个 X 和最后一个 Z 之外的所有位置没有用。
2. 由相同字符组成的一个连续段只有一个有用。

忽略第一个 X 和最后一个 Z 之外的所有字符，考虑第一个 X 和第一个 Z 连续段，不难发现这之间只会出现 X 和 Y。考虑到 Z 是一个连续段，先以任意顺序将 Z 删的只剩一个，然后一路往前删即可，不难发现每个 Y 连续段左面一定会存在一个 X，所以一定存在贡献。并且注意到如果我们保留 Z 连续段的最后一个 Z，那么我们只需要从这个 Z 开始往前删即可。这个做法只需要得知第一个 X 和每个 Z 连续段的末尾位置即可。需要 \(10^5\) 个 bit。

考虑优化，考虑到因为是连续段所以存的位置之间必然有空格，而有效状态是 fibonacci 数（根据 DP 递推式容易得到），所以可以压缩。但是这个数字仍然很大，没法快速计算出传的串，考虑分块，将要传的信息分成若干个块，然后内部把有效状态压缩，这里可以通过传过去串的字典序排名实现。假设块长为 \(B\)，那么总代价就是 \(\lceil\dfrac{n}{B}\rceil\times \log_2F_B\)，其中 \(F_B\) 为长度为 \(B\) 的有效状态数，枚举一下发现（在 \(F_B\) 在 long long 范围内的前提下）取 \(B=76\) 最优，代价是 \(69748\)（好像是这个数），每一块要传的信息长度是 \(K=53\)，然后在算上 X 的位置消耗 \(16\) 个位，然后就过了。