YDSP2023D1BonusB. Yet Another 伟大的数据结构问题

https://www.cnblogs.com/dcytrl/p/18969289 T3。

题意

有 \(n\) 个初始为空的集合，有 \(q\) 次操作：给区间内所有集合插入或删除元素 \(x\)，查询集合 \(u\) 是否为 \(v\) 的子集，设此时 \(LIM=||S_u|-|S_v||\)，则保证 \(LIM\le 2\)。

\(n,m\le 10^5\)

bonus：\(LIM=3?\)

普通做法

考虑 sum-hash，给每个点赋一个随机权值（范围是 unsigned long long），让一个集合的哈希值为其内元素的权值之和。然后插入元素相当于区间加，删除相当于区间减。如果 \(LIM\le 1\)，那么 \(r\) 和 \(l\) 的权值作差就是那个差出来的元素，复杂度单 log。当 \(LIM\le 2\) 时，考虑二进制分组，如果有两个差出来的元素，那么这两个元素在编号上必定存在一位使得一个为 0 一个为 1，枚举每一位，然后只考虑这一位上为 1 的元素的 \(LIM\le 1\)，如果差出来了那么我们就拿到了两个差出来的元素的其中一个，另一个也可以拿出来了，复杂度多一个 log。

\(LIM\le 3\)，接着考虑二进制分组，同理的，必定存在一位使得三个数在这一位上不同，而且有两个相同，另一个不同，此时能直接拿出那个不同的元素，然后转化成 \(LIM\le 2\)。复杂度不知道会不会多一个 log。

神人做法

这个做法只能做 \(LIM\le 2\)。

\(LIM=1\) 做法一样，\(LIM=2\) 时，考虑差出来的两个数的权值分别为 \(x,y\)，如果同时做 sum-hash 和 xor-hash，那么我们能得到 \(x\oplus y=A,x+y=B\)，有经典结论 \(x+y=(x\oplus y)+2(x\& y)\)，整理得 \(x\& y=\frac{B-A}{2}\)。考虑到 \(x\& y\) 为 1 的位置 \(x\oplus y\) 一定为 0，我们拿这个判断一下，过判了直接算合法。由于 \(x\& y,x\oplus y\) 可以视为长度为 64 的随机 01 串，1 的个数期望在 32 左右，而此时过判的概率约为 \(2^{-32}\)，足够低了。一个 log。