P5607 [Ynoi2013] 无力回天 NOI2017

题意

有若干个集合，初始全为空。现在有 \(m\) 次操作，形如将某一个元素插入到一个集合中、查询两个集合的并的大小。

\(m\le 10^6,\bf1\text{s},512\text{MB}\)，集合和元素编号在 \([1,m]\) 内。

分析

首先将并集大小转化为集合大小之和减去交集大小，据此我们能立刻得出一个 bitset 做法，即 bitset 记录每个集合所包含的元素，查询时取交即可，时间复杂度 \(O(\frac{m^2}{\omega})\)，一脸的过不去。但我们发现如果元素种类很少，设为 \(c\)，那么复杂度就进化成了 \(O(\frac{mc}{\omega})\)，就可以过了。

考虑按照元素出现次数根号分治，阈值 \(B\)。对于出现次数 \(>B\) 的元素，\(c=O(\frac{m}{B})\)，复杂度此时为 \(O(\frac{m^2}{B\omega})\)。当出现次数较小时，我们考虑 \(O(B^2)\) 地计算组内两两之间的贡献，然后记录到哈希表里，复杂度是 \(O(mB^2)\)，但仔细分析可以发现由于总出现次数是 \(O(m)\)，所以每一次向某一组加数的复杂度是 \(O(B)\)，所以总复杂度其实是 \(O(mB)\) 的。取 \(B=\sqrt{\frac{m}{\omega}}\) 时最优，时间复杂度 \(O(m\sqrt{\frac{m}{\omega}})\)，空间复杂度 \(O(m\sqrt{\frac{m}{\omega}})\)。

当然你会发现你不仅 T 了还 M 了。M 的原因是 bitset 占用空间实在太大了，我们考虑对于一些好计算答案的集合我们不去记录它，设阈值 \(b\)，当集合内的元素数量 \(< b\) 时，我们不去把他记录在 bitset 里，这样我们至多会记录 \(\frac{m}{b}\) 个 bitset，空间因此可以除掉 \(b\)，这里取 \(b=3\) 足够了。而 T 的主要原因在于哈希表跑的太慢了。我们考虑离线，固定下来某个横坐标，单独对纵坐标计数，这时哈希表就可以被数组代替，开一个 vector 存下来横坐标上的修改和查询即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#include<array>
#include<cassert>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0)
#define OTIE cout.tie(0)
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P0 puts("0")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define un using namespace
#define il inline
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
#define popc __builtin_popcountll
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);++a)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);--a)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=(d))
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=(d))
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
#define lson(x) ((x)<<1)
#define rson(x) ((x)<<1|1)
//#define double long double
//#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
using i64=long long;
using u64=unsigned long long;
using pii=pair<int,int>;
template<typename T1,typename T2>inline void ckmx(T1 &x,T2 y){x=x>y?x:y;}
template<typename T1,typename T2>inline void ckmn(T1 &x,T2 y){x=x<y?x:y;}
inline auto rd(){
	int qwqx=0,qwqf=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')qwqf=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){qwqx=(qwqx<<1)+(qwqx<<3)+ch-48;ch=getchar();}return qwqx*qwqf;
}
template<typename T>inline void write(T qwqx,char ch='\n'){
	if(qwqx<0){qwqx=-qwqx;putchar('-');}
	int qwqy=0;static char qwqz[40];
	while(qwqx||!qwqy){qwqz[qwqy++]=qwqx%10+48;qwqx/=10;}
	while(qwqy--)putchar(qwqz[qwqy]);if(ch)putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=1e6+1,inf=0x3f3f3f3f;
const int B=125,maxm=8e3+1;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,m;
struct node{
	int op,x,y;
}q[maxn];
int ans[maxn];
bitset<maxm>f[340000];
pii a[maxn];
int ct[maxn][2];
int cnt[maxn];
vector<int>vec[maxn];
vector<pii>qq[maxn];
int siz[maxn];
int id[maxn],idcnt;
int uid[maxn],uidcnt;
inline void solve_the_problem(){
	n=rd();
	rep(i,1,n){
		q[i].op=rd(),q[i].x=rd(),q[i].y=rd(),siz[q[i].y]++;
	}
	rep(i,1,n)if(siz[i]>B)id[i]=++idcnt;
	mem(siz,0);
	rep(_,1,n){
		int op=q[_].op,x=q[_].x,y=q[_].y;
		if(op==1){
			++siz[x];
			if(id[y]){
				if(ct[x][1]>0){
					uid[x]=++uidcnt;
					f[uid[x]][ct[x][0]]=f[uid[x]][ct[x][1]]=1;
					ct[x][1]=-1;
				}
				if(ct[x][1])f[uid[x]][id[y]]=1;
				else if(ct[x][0])ct[x][1]=id[y];
				else ct[x][0]=id[y];
			}else{
				for(int i:vec[y]){
					pii nw=mp(min(i,x),max(i,x));
					qq[nw.fi].pb(mp(nw.se,-1));
				}
				vec[y].pb(x);
			}
		}else{
			if(x==y){
				ans[_]=siz[x];
				continue;
			}
			ans[_]=siz[x]+siz[y];
			int capsiz=0;
			if(uid[x]&&uid[y]){
				capsiz=(f[uid[x]]&f[uid[y]]).count();
			}else if(uid[x]||uid[y]){
				if(uid[x])swap(x,y);
				rep(i,0,1)if(ct[x][i]>0&&f[uid[y]][ct[x][i]])++capsiz;
			}else{
				rep(i,0,1)if(ct[x][i]>0)rep(j,0,1)if(ct[x][i]==ct[y][j])++capsiz;
			}
			ans[_]-=capsiz;
			qq[min(x,y)].pb(mp(max(x,y),_));
		}
	}
	rep(i,1,n){
		for(pii _:qq[i]){
			const int x=_.fi,y=_.se;
			if(y==-1)++cnt[x];
			else ans[y]-=cnt[x];
		}
		for(pii _:qq[i]){
			if(_.se==-1)--cnt[_.fi];
		}
	}
	rep(i,1,n)if(q[i].op==2)write(ans[i]);
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=1;
	while(_--)solve_the_problem();
}
/*

*/