P1224 [NOI2013] 向量内积

题意

给定 \(n\) 个 \(d\) 维向量 \(a_i\)，求一对合法的 \(i,j\) 使得 \(a_i\cdot a_j=0\)，其中 \(\cdot\) 是向量点积，即 \(a_i\cdot a_j=\sum_{p=1}^d a_{i,p}a_{j,p}\)。

\(n\le 10^5,d\le 30,2\le k\le 3\)

分析

考虑 \(k=2\) 怎么做。发现寻找一组解比较困难，考虑随机化。若无解，那么肯定满足 \(\forall i,j, a_i\cdot a_j\equiv 1\)。考虑随出一个集合 \(S\)，并让集合 \(S\) 外的 \(i\) 与 \(S\) 内的所有向量分别做点积并求和（模 \(k\) 意义下），若总和为 \(|S|\bmod k\)，则这个 \(i\) 肯定与 \(S\) 内的某个点点乘后合法，暴力 check 即可。不难发现每次做一遍成功率至少为 \(\frac{1}{2}\)，多做几次即可。复杂度 \(O(Knd)\)，\(K\) 为随机次数。

考虑 \(k=3\)。这时无解，点积的结果可能为 \(1\) 或 \(2\)，相当的不好处理。但是注意到 \(1\) 和 \(2\) 平方后的结果模 \(3\) 意义下均为 \(1\)，把 \(\sum_{p=1}^d a_{i,p}a_{j,p}\) 转化为 \(\sum_{p=1}^d\sum_{q=1}^d a_{i,p}a_{i,q}a_{j,p}a_{j,q}\)，这样就转化为了 \(d\leftarrow d^2\) 的 \(k=2\)，就好处理了。复杂度 \(O(Knd^2)\)。

int n,m,d,k;
int a[maxn][maxm],b[maxms];
mt19937 rnd(time(0));
bool flag[maxn];
inline int get(int x,int y){
	return a[x][y/d]*a[x][y%d];
}
inline void solve_the_problem(){
	n=rd(),d=rd(),k=rd(),m=d*d;
	rep(i,1,n)rep(j,0,d-1)a[i][j]=rd()%k;
	rep(_,1,B){
		int tot=0;
		rep(i,1,n)flag[i]=rnd()%2,tot+=flag[i];
		rep(j,0,m-1)b[j]=0;
		rep(i,1,n)if(flag[i])rep(j,0,m-1)b[j]=(b[j]+get(i,j))%k;
		rep(i,1,n)if(!flag[i]){
			int sum=0;
			rep(j,0,m-1)sum=(sum+get(i,j)*b[j])%k;
			if(sum!=tot%k){
				rep(l,1,n)if(flag[l]){
					sum=0;
					rep(j,0,m-1)sum=(sum+get(i,j)*get(l,j))%k;
					if(!sum)return printf("%d %d",min(i,l),max(i,l)),void();
				}
			}
		}
	}
	printf("-1 -1");
}