P9896 [ICPC2018 Qingdao R] Sub-cycle Graph

小清新计数题，但我为什么不会呢？？？

题意

对满足以下条件的 \(n\) 点 \(m\) 边无向简单图计数，对 \(10^9+7\) 取模。

• 存在一种方案使得添加若干条边后该图能变成一个简单环。

\(n\le 10^5,\sum n\le 3\times10^7,m\le \frac{n(n-1)}{2}\)

分析

首先 \(m\) 没啥用，因为 \(m>n\) 一定无解，然后 \(m=0\) 答案为 1，\(m=n\) 答案为 \(\dfrac{(n-1)!}{2}\)（注意一个环会被正反算两遍）。原题转化为将图分成 \(k=n-m\) 条链的方案数。

考虑先用 \(n!\) 种方案把点赋上编号，然后用插板法将所有点分成 \(k\) 份，首先每种分法会被算 \(k!\) 次，其次每个二元以上链会被正反算两次，再除以 \(2^{cnt}\)，其中 \(cnt\) 表示长度 \(\ge 2\) 的链的数量。考虑枚举孤点的数量 \(i\)，首先选孤点的方案数为 \(\dbinom{n}{i}\)，然后 \(cnt\) 被固定成 \(k-i\)，再套用上述做法即可。注意此时插板要求板间元素数 \(\ge 2\)，可以强制钦定每个块内自带一个元素，然后转化为非空插板问题。

最终式子：\(\sum_{i=0}^k n!\dbinom{n}{i}\dfrac{\dbinom{n-k-1}{k-i-1}}{2^{k-i}(k-i)!}\)

时间复杂度线性。