[ABC250Ex] Trespassing Takahashi

感觉是很厉害的结论题。

题意

给你一个带权无向连通简单图 \(G=(V,E),|V|=n,|E|=m\)。钦定编号 \(1\sim k\) 的点为关键点。给定 \(q\) 次询问，每次询问给出 \(x,y,t\)，表示你需要回答是否存在一条路径，使得从 \(x\) 出发到 \(y\) 的路径上相邻两个关键点的距离都不超过 \(t\)。保证 \(x,y\) 为关键点且 \(t\) 升序。

\(n,m,q\le 2\times10^5\)。

分析

考虑对关键点之间两两建一条边，边权为原图中两点的最短路，当询问的 \(t\) 大于边权时，把该边加进图中。由于只需要维护可达性，可以用并查集维护。

但是把关键点两两之间建边显然太浪费了。

考虑原图每条边的贡献，即每条边在 \(t\) 至少为多少时才会发挥作用。

用 dijkstra 跑出关键点到普通点的最短路，那么一条边权为 \(w\) 的边 \(u\rightarrow v\) 会在 \(dis_u+dis_v+w\) 时刻被激活并发挥作用。

这样为什么是对的？

考虑两个关键点 \(x,y\) 和它们之间的一条路径，如果在某一时刻两个点能通过这一条路径连通，那么路径上的所有边都需要被激活是一个必要条件。

考虑证明充分性：

如果一条从 \(x\) 到 \(y\) 的路径上的所有边都激活，设路径为 \(x=v_0,v_1,v_2,\cdots,v_t=y\)，那么我们能构造一组合法的从 \(x\) 到 \(y\) 的方案（这 \(p_i\) 为距离 \(i\) 最近的关键点）：\(v_0=p_{v_0},v_0,v_1,p_{v_1},v_1,v_2,p_{v_2},\cdots,p_{v_{t-1}},v_{t-1},v_t,p_{v_t}=v_t\)。根据定义，\(dis_{p_u,u}+w+dis_{v,p_v}\le t\)，所以每个相邻的 \(p_u\rightarrow u\rightarrow v\rightarrow p_v\) 的路径都是合法的，相邻两个关键点的用时都在 \(t\) 之内。

根据这个条件，我们只需要将所有边的激活时间升序排序，然后每次询问把激活时间 \(\le t\) 的边激活，并查集维护即可。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

代码不放了。