浅谈高维前缀和

之前做了一道高维前缀和题做着做着忘掉怎么写了，遂记一发。

你说的对，但是我谈的真的很浅。

铺垫

回忆一下我们求前缀和是怎么求的。

一维前缀和：

for(int i=1;i<=n;i++){
	s[i]=s[i-1]+a[i];
}

没有任何问题对吧。

而求二维前缀和时，我们通常会使用如下方法求前缀和（如果不是当我没说）：

for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=1;j<=n;j++){
		s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
	}
}

本质上是在做一个容斥。

三维前缀和的式子更长：

for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=1;j<=n;j++){
		for(int k=1;k<=n;k++){
			s[i][j][k]=s[i-1][j][k]+s[i][j-1][k]+s[i][j][k-1]-s[i-1][j-1][k]-s[i-1][j][k-1]-s[i][j-1][k-1]+s[i-1][j-1][k-1]+a[i][j][k];
		}
	}
}

如果维度接着升高，那么这种常规方法我们就要枚举子集做容斥，时间复杂度来到了 \(O(n^w2^w)\)。

我们考虑另一种方法：

先对于每一维，求出仅考虑这一维上的前缀和；接着考虑另一维，再求出仅考虑这一维上的前缀和，写成代码是这样子的（以二维前缀和为例）：

for(int i=1;i<=n;i++)s[i][j]=a[i][j];
for(int i=2;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)s[i][j]+=s[i-1][j];
for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=2;j<=n;j++)s[i][j]+=s[i][j-1];

关于正确性，我选择从 https://zhuanlan.zhihu.com/p/651143987 嫖一个图过来：

于是时间复杂度降到了 \(O(n^ww)\)，这就是高维前缀和的核心思路。

问题引入

给定 \(2^n\) 个数 \(a_i\)，从 \(0\) 开始标号。令 \(f_S\) 为 \(\sum_{T\operatorname{or} S=S}a_T\)，对 \(S=0\sim 2^n-1\) 求 \(f_S\)。

\(n\le 20\)。

分析

显然有一个 \(O(4^n)\) 的暴力。

把 \(S\) 的每一个二进制位记为一个维度，那么 \(f_S\) 就相当于对所有的这 \(n\) 维做高维前缀和，只不过每一维只有 0/1 两种取值。

代码实现：

for(int S=0;S<(1<<n);S++)
	for(int i=0;i<n;i++)
		if((S>>i)&1)
			f[S]+=f[S^(1<<i)];

时间复杂度 \(O(2^nn)\)。

例子：狄利克雷前缀和

题面：https://www.luogu.com.cn/problem/P5495

对所有 \(x=1\sim n\) 求 \(f_x=\sum_{y|x} a_y\)。

\(n\le 2\times10^7\)。

分析

将数 \(x\) 唯一分解成 \(x=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}\) 的形式，把每个质因数视为一个维度，对所有维度做一遍高维前缀和。由于每一维的取值是在 \(0\) 到 \(\dfrac{n}{p}\) 之间的，时间复杂度 \(\sum_{p\in prime}\dfrac{n}{p}=O(n\log \log n)\)。

代码实现：

for(int i=2;i<=n;i++){
	if(!flag[i]){//flag[i]为质数标记 
		for(int j=1;i*j<=n;++j){
			flag[i*j]=1;
			a[i*j]+=a[j];
		}
	}
}