[联合省选 2024] 季风

首先我们不难发现，原题意等价于求最小的 \(m\) 使得 \(|x-\sum_{i=0}^{m-1}x_{i\bmod n}|+|y-\sum_{i=0}^{m-1}y_{i\bmod n}|\le m\cdot k\)，因为你可以把较大的 \(x'_i,y'_i\) 匀出一点给较小的 \(x'_i,y'_i\)，使得所有 \(|x'_i|+|y'_i|\le k\) 都满足，而不会影响结果。

考虑枚举 \(i\in[0,n)\)，那么 \(\sum_{i=0}^{m-1}x_{i\bmod n}=sum_{i}+d\cdot sum_n\)，其中 \(sum\) 是 \(x\) 的前缀和数组，\(d\) 是一个常数，下文也会出现。\(y\) 同理。

绝对值向来是很烦人的，考虑直接拆掉绝对值符号，分类讨论绝对值内的数的正负，总共有四种情况。

考虑求出 \(px\) 表示最大的数满足 \(px\cdot sum_n+sum_i\le x\)，\(py\) 同理。那么四种情况可以规约为 \(d\in[0,\min(px,py)],d\in(px,py],d\in(py,px],d\in(\max(px,py),\infty)\)。可以发现其中必有至少一种情况无用，但无关紧要。

但是我们发现当 \(sum_n\) 是负数的时候会出错，这时我们将所有的 \(x_i,x\) 取相反数，这样不会对结果造成影响（因为 \(x_i,y_i\) 在题面的前两个式子中相互独立，而第三个式子中由于是绝对值所以必然无影响），也规避了这种特殊情况。下文的 \(x_i\) 等都是经过处理的。对 \(y,y_i\) 同理。

以下分类讨论以 \(d\in[0,\min(px,py)]\) 的情况为例，其他情况类似。

（原不等式：\(|x-\sum_{i=0}^{m-1}x_{i\bmod n}|+|y-\sum_{i=0}^{m-1}y_{i\bmod n}|\le m\cdot k\)，以下用 \(sumx_i,sumy_i\) 区分两个数组的前缀和）

绝对值拆掉后，不等式左侧 \(=x-sumx_i-d\cdot sumx_n+y-sumy_i-d\cdot sumy_n\)，不等式右侧 \(=d\cdot nk+i\cdot k\)，移项后得 \(d\cdot(nk+sumx_n+sumy_n)\ge x-sumx_i+y-sumy_i-i\cdot k\)，将 \(d\) 的这坨系数除过去即可。对于 \(d\) 的下限，将系数除过去后直接将右边的式子向上取整就行。由于 C++ 除法是臭名昭著的向零取整，所以要用 floor 和 ceil 函数。

一些可能需要注意的点：

• 初中数学告诉我们，除法不能除以 \(0\)，所以求 \(px,py,d\) 的时候要特判除数为 \(0\) 的情况。
• 初中数学告诉我们，不等式除以一个负数是要变号的，所以求 \(d\) 的时候还要特判除数为 \(d\) 的情况。
• 求出 \(d\) 的时候别忘了验证结果是否在讨论的取值范围内。
• 求出的 \(px,py\) 要对 \(-1\) 取 max。
• 求出的 \(d\) 只是一个下限，所以当求出的 \(d\) 小于取值范围下限时，要将 \(d\) 对取值范围下限取 max。
• 当除负系数时，由于 \(d\) 要取最小值，所以对右边的式子直接取 floor 是不对的，取 floor 的值只是 \(d\) 的上限。另外若 \(d\) 的上限小于讨论的取值范围的下限，那么是无解的。
• 别忘了最终要返回的答案是 \(d\cdot n+i\)。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#define PW puts("-1")
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);++a)
#define int long long
using namespace std;
inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	int y=0;char z[40];
	while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
	while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=1e5+5,maxm=4e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,k,X,Y;
int a[maxn],b[maxn],sa[maxn],sb[maxn];
int getpx(int e){
	if(!sa[n])return X-sa[e]>=0?llinf:-llinf;
	return floor(1.0*(X-sa[e])/sa[n]);
}
int getpy(int e){
	if(!sb[n])return Y-sb[e]>=0?llinf:-llinf;
	return floor(1.0*(Y-sb[e])/sb[n]);
}
int solve(int e,int ox,int oy,int l,int r){
	if(l>r)return llinf;
	int fz=ox*(sa[e]-X)+oy*(sb[e]-Y)-e*k,fm=n*k-ox*sa[n]-oy*sb[n];
	if(fm<0){
		int uplim=floor(1.0*fz/fm);
		return l<=uplim?l*n+e:llinf;
	}else if(fm==0){
		if(fz<=0)return l*n+e;
		return llinf;
	}else{
		int d=ceil(1.0*fz/fm);
		if(d<=r)return max(d,l)*n+e;
		return llinf;
	}
}
void solve_the_problem(){
	n=rd(),k=rd(),X=rd(),Y=rd();
	rep(i,1,n)a[i]=rd(),b[i]=rd(),sa[i]=sa[i-1]+a[i],sb[i]=sb[i-1]+b[i];
	if(sa[n]<0){
		rep(i,1,n)a[i]*=-1;X*=-1;
		rep(i,1,n)sa[i]=sa[i-1]+a[i];
	}
	if(sb[n]<0){
		rep(i,1,n)b[i]*=-1;Y*=-1;
		rep(i,1,n)sb[i]=sb[i-1]+b[i];
	}
	int ans=llinf;
	rep(i,0,n-1){
		int px=getpx(i),py=getpy(i);
		px=max(px,-1ll),py=max(py,-1ll);
		ans=min(ans,solve(i,-1,-1,0,min(px,py)));
		ans=min(ans,solve(i,1,-1,px+1,py));
		ans=min(ans,solve(i,-1,1,py+1,px));
		ans=min(ans,solve(i,1,1,max(px,py)+1,llinf-1));
	}
	if(ans==llinf)PW;
	else write(ans,10);
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
//	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=rd();while(_--)solve_the_problem();
}
/*
1
1 16441092 10192902 -9668835
3483259 10208774
output:3
*/