Ybt 金牌导航 6.2.F 大根堆 / BZOJ 4919 大根堆（LIS，启发式合并）

题意简述

有一个以 \(1\) 为根的有根树，每个点有权值 \(v_i\)。你需要选出一个点集 \(S\)，使得点集里任意两个元素 \(x,y\)，若 \(x\) 在原树上是 \(y\) 的祖先，则要满足 \(v_x>v_y\)。求选出的点集的最大大小是多少。

解法

原题限制相当于：在选出的点集构成的新树 \(T\) 中，每个点到根节点上的点权形成上升子序列。要让点集大小最大，就是让上升子序列长度最大。

不会最长上升子序列的建议前往这里。

做法：对每个节点维护一个 set，合并子树的 set 时用启发式合并，插入元素时寻找第一个大于等于它本身的元素，删除原来的元素，并加入这个元素。若没有，直接加入。最终根节点的 set 大小就是答案。

这个做法为什么是对的？

这里 set 里维护的数相当于某个 LIS 上，长度为某值时该节点作为 LIS 末尾的元素值最小。换句话说，set 内的每个元素维护的是一条 LIS，该元素为 LIS 的末尾。

首先，求 LIS 的一个经典贪心结论：长度一定时，将末尾元素替换为更小的元素肯定不劣。（这样更有利于我们之后扩展该 LIS 的长度）

插入元素时：

• 若它是最大的元素，直接插入显然没有问题。
• 若它不是最大的元素，找到第一个大于等于它的数，该数对应的 LIS 的倒数第二个元素一定没有要插入的元素大，根据求 LIS 的经典贪心结论，将该 LIS 的末尾元素替换成药插入的元素显然不劣。

时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。

代码略去缺省源。

点击查看代码

int n,m,a[maxn];
vector<int>G[maxn];
multiset<int>s[maxn];
void merge(multiset<int>&x,multiset<int>&y){
	if(x.size()<y.size())swap(x,y);
	while(!y.empty())x.insert(*y.begin()),y.erase(y.begin());
}
void dfs(int x){
	for(int u:G[x]){
		dfs(u);merge(s[x],s[u]);
	}
	auto it=s[x].lower_bound(a[x]);
	if(it!=s[x].end())s[x].erase(it);
	s[x].insert(a[x]);
}
void solve_the_problem(){
	n=rd(),a[0]=inf;
	rep(i,1,n){
		int x;a[i]=rd(),x=rd();
		G[x].pb(i);
	}
	dfs(1);
	write(s[1].size());
}