IMO2012 Problem5 题解

这是一篇老文章了。原文写于2012-07-29，主要是给出了一个IMO2012第五题几何题的简单解法。

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IMO2012 Problem5：

$\Delta ABC$中，$C$为直角，$CD$是斜边上的高。在$CD$上任取一点$X$，在$XA$上取一点$L$使得$BL=BC$；在$XB$上取一点$K$使得$AK=AC$.连$AK,BL$交于$M$，求证$MK=ML$

 

 

 

证明：

设以$A$为圆心，$AC$为半径的圆为$w_1$，则$K$在$w_1$上;以$B$为圆心，$BC$为半径的圆为$w_2$，则$L$在$w_2$上。
延长$AX$交$w_2$于$P$，延长$BX$交$w_1$于$Q$。显然$CD$为两圆根轴，$X$在根轴上，从而$XK*XQ=XL*XP$，即$KLPQ$共圆$w_3$
由切割线定理，$AL*AP=AC^2=AK^2$，从而由切割线逆定理，$AK$是$w_3$的切线，同理$BL$也是切线
即$MK,ML$都是$w_3$的切线段，它们当然相等，证毕