n！末尾零的个数 -hoj-1039

  今天我这个小菜鸟，头一次写的递归，想明白了一点，因为是简单的，所以能想明白啦。当然，这个递归的思想还是用的别人的，我只不过实现了一下。
 

一、解法1

       很显然，当每次有5的整数倍时，都会增加一个0，因为5的倍数乘以一个偶数会得到一个0，而偶数的数目显然多于5整数倍的数目。但我们也同时发现如果该数 是5^k时，能产生k个零。因为2^k*5^k会得到k个0。因此我们不难得到结论：零的个数

f(n!) = n/5 + n/(5^2) + n/(5^3) + ...+ n/(5^k)，其中5^k <= n <= 5^(k+1)。

二、解法2

       我们同时发现，如果对n!进行因式分解，则所求0的个数就是因式分解中以5为个位数的因子的个数。其中我们能够发现n!可以分解为5^k*k!*a，其中 k =n/5，而a为1~n中不能为5整除的所有数的积。令f(n!)表示正整数n!末尾所含有的0的个数，g(n!)表示正整数n!的因式分解中因子5的个数，则有：

f(n!) = g(n!) = g(5^k * k! * a) = g( 5^k*k!) = k + g(k!) = k + f(k!)    （其中 k = n/5 )

  我的代码当然就是解法2啦。
函数如下：

int f(int n)

{

    if(n/5==0)

        return 0;

    return n/5+f(n/5);

}

小小的收获啦，高兴！

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对解法2的证明：

令f(x!)表示正整数x!末尾所含有的“0”的个数，则有：

        

f(n!) = 0          0 < n < 5

f(n!) = k + f(k!)          n >= 5 ；k=n/5(取整）

结论1： 对于n的阶乘n！，其因式分解中，如果存在一个因子“5”，那么它必然对应着n！末尾的一个“0”。

下面对这个结论进行证明：
        (1)当n < 5时, 结论显然成立。
        (2)当n >= 5时，令n！= [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a，其中 n = 5k + r (0 <= r <= 4)，a是一个不含因子“5”的整数，a即是除去5的倍数剩下的数的总乘积。
      对于序列5k, 5(k-1), ..., 10, 5中每一个数5i(1 <= i <= k)，都含有因子“5”，并且在区间【5(i-1),5i】(1 <= i <= k)内存在偶数，也就是说每一个区间【5(i-1),5i】中都存在一个数有一个因子“2”与5i相对应。那么，这里的k个因子“5”与n！末尾的k个“0”一一对应。所以，计算n的阶乘n！末尾的“0”的个数，可以转换为计算其因式分解中“5”的个数。

    我们进一步把n！表示为：n！= 5^k * k! * a，其中5^k表示5的k次方。      

令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数, g(x)表示正整数x的因式分解中因子“5”的个数，则有：
                    f(n!) = g(n!) = g(5^k * k! * a) = k + g(k!) = k + f(k!)
命题得证。

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