线性筛素数

学习这个算法的时候看了这位大佬的题解

背景

最近遇到一个问题，需要判断大量的数是否是素数，暴力做法会TLE，所以在寻找解决办法的时候了解了欧拉筛法（线性筛法）

代码

这里以洛谷P3383为例

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

bool isPrime[114514191];
int Prime[114514191];

void solve(int n) {
   int cnt = 0;
   memset(isPrime, true, sizeof(isPrime));
   isPrime[1] = false;

   for(int i = 2; i <= n; i++) {
       if(isPrime[i]) {
           Prime[++cnt] = i;
       }
       for(int j = 1; j <= cnt && i * Prime[j] <= n; j++) {
           isPrime[i * Prime[j]] = false;

           if(i % Prime[j] == 0) break;
       }
   }

}

int main(void) {
   ios::sync_with_stdio(0);

   int n, q;
   cin >> n >> q;
   solve(n);

   while(q--) {
       int k;
       cin >> k;
       cout << Prime[k] << endl;
   }

   return 0;
}

时间复杂度: $ O(n)$

算法原理

欧拉筛的基本原理是利用因数分解的思想来筛去合数，对于任一合数均可被拆分为\(最小质因数 \times 最大因数\)，我们从2开始（因为2本身就素数，所以直接从它开始判断）枚举每一个素数，即\(Prime[j]\)，那么\(i * Prime[j]\)必定时一个合数，将其筛去。为了确保线性复杂度，我们期望每一个合数只被它的最小质因数筛去，这样每个数都指挥被筛一遍，为了确保这一点我们使用了if(i % Prime[j] == 0) break;由于\(j\)是从小到大开始枚举，当这个条件成立时，\(Prime[j]\)必定为i的最小质因数。

正确性证明(出自大佬博客)

设任一要被筛去的合数C的最小质因数为p，令B = C / p,则B的最小质因数一定不小于p（\(最小质因数 \times 最大质因数 = 合数\)）所以当外层枚举到枚举\(i = B\)时，由于B的最小质因数一定不小于p，所以内层在结束break前一定会遇到p，(博客原话是:所以\(i\)在质数枚举至p之前一定不会break)，这样就可以保证c会被筛去。

The End