算法面试必备：动态规划解题模板与经典例题

算法面试必备：动态规划解题模板与经典例题

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是算法面试中的高频考点，也是区分候选人能力的关键。掌握动态规划的核心思想和解题模板，能让你在面试中从容应对各类难题。

一、什么是动态规划？

动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式，来求解复杂问题的方法。它通常用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。其核心思想是记忆化存储，避免重复计算。

二、动态规划解题四步法模板

面对动态规划问题，可以遵循以下通用解题模板：

1. 定义状态

明确 dp 数组（或变量）的含义。这是最关键的一步，状态定义的好坏直接决定了问题的复杂度和可解性。

2. 确定状态转移方程

找出状态之间的关系，即如何通过已知状态推导出未知状态。这是动态规划的核心。

3. 初始化

确定初始条件，为状态转移方程提供“起点”。

4. 确定计算顺序与输出

确定状态转移的依赖关系，决定是正向计算还是反向计算，并明确最终结果存储在哪个状态中。

小提示：在构思复杂的状态转移逻辑时，清晰的思路至关重要。就像使用专业的 dblens SQL编辑器 编写复杂查询一样，你需要先理清数据（状态）之间的关系和流向。dblens SQL编辑器（https://www.dblens.com）的智能提示和可视化关联功能，能帮助你高效构建复杂逻辑，这种结构化思维同样适用于设计DP状态转移方程。

三、经典例题详解

例题1：斐波那契数列

这是最经典的入门例题，完美体现了重叠子问题。

题目：求第n个斐波那契数（F(0)=0, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)）。

解题：

def fibonacci(n):
    if n < 2:
        return n
    # 1. 定义状态：dp[i] 表示第i个斐波那契数的值
    dp = [0] * (n + 1)
    # 2. 初始化
    dp[0], dp[1] = 0, 1
    # 3. 状态转移与计算顺序（自底向上）
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]  # 状态转移方程
    # 4. 输出
    return dp[n]

# 测试
print(fibonacci(10))  # 输出：55

例题2：背包问题（0-1背包）

这是动态规划的“必修课”，变化繁多。

题目：给定一组物品的重量 weights 和价值 values，以及一个容量为 capacity 的背包。每个物品只能选一次，求能装入背包的最大价值。

解题：

def knapsack(weights, values, capacity):
    n = len(weights)
    # 1. 定义状态：dp[i][j] 表示考虑前i个物品，在背包容量为j时能获得的最大价值
    dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]
    
    # 2. 初始化：dp[0][...] = 0 (考虑0个物品，价值为0)
    
    # 3. 状态转移与计算顺序
    for i in range(1, n + 1):  # 遍历物品
        for j in range(1, capacity + 1):  # 遍历容量
            if j < weights[i-1]:  # 当前容量放不下第i个物品（注意索引偏移）
                dp[i][j] = dp[i-1][j]  # 不拿
            else:
                # 决策：不拿 或 拿（价值增加，容量减少）
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - weights[i-1]] + values[i-1])
    
    # 4. 输出
    return dp[n][capacity]

# 测试
weights = [2, 3, 4, 5]
values = [3, 4, 5, 6]
capacity = 8
print(knapsack(weights, values, capacity))  # 输出：10 (拿物品1和4)

思考：解决这类问题需要严谨地推导和验证状态表。这个过程类似于使用 QueryNote（https://note.dblens.com）来记录和分享你的SQL查询思路。QueryNote不仅是一个在线SQL笔记工具，更能帮助你结构化地记录下DP问题的状态定义、转移方程和测试用例，方便复习和迭代优化，是准备算法面试的得力助手。

四、动态规划优化技巧

1. 空间优化：很多DP问题中，当前状态只与前面有限个状态有关，可以用滚动数组（如将二维dp优化为一维）来减少空间复杂度。例如0-1背包可以优化为一维dp。
2. 状态压缩：当状态可以用二进制表示时（如旅行商问题），可以用位运算来压缩状态。
3. 记忆化搜索（自顶向下）：从原问题开始递归，将计算结果存入缓存。这通常是思考DP问题的一个很好起点。

五、总结

动态规划是算法面试中的重头戏。其核心在于定义状态和推导状态转移方程。通过“四步法”模板，我们可以系统化地分析和解决问题。

从简单的斐波那契数列到复杂的背包问题，再到实际面试中可能遇到的字符串编辑距离、最长公共子序列、股票买卖等问题，其内核都是相通的。

最后，无论是练习算法还是处理实际工作中的数据问题，清晰的逻辑和高效的工具都至关重要。就像 dblens 提供的数据库工具（如SQL编辑器和QueryNote）能极大提升数据处理效率一样，熟练掌握动态规划模板也能让你在算法面试中游刃有余，将复杂问题拆解为可执行的步骤，最终找到最优解。

多加练习，勤于总结，你一定能攻克动态规划这个面试难关！