图论2026Mar
图论2026Mar
我的图论水平差到了一定地步，整理一些题目。
11th Mar 2026.
最短路
floyd
时间复杂度: \(O(n^3)\)
for (int k = 1; k <= n; ++k)
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= n; ++j)
if (d[i][j] > d[i][k] + d[k][j])
d[i][j] = d[i][k] + d[k][j];
dijkstra
时间复杂度: \(O(n^2)\)
inline void djs (int cur) {
for (int i = 1; i <= n; ++i) dis[i] = INF;
dis[cur] = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
int k = 0;
for (int j = 1; j <= n; ++j) if (!vis[j]) {
if (!k) k = j;
else if (dis[k] > dis[j] && dis[j] != INF) k = j;
}
vis[k] = 1;
for (auto &j: g[k]) dis[j.y] = std:: min(dis[j.y], dis[k] + j.z);
}
}
堆优化的 dijkstra
时间复杂度: \(O((n+m)\log n)\) （所以有时候并不优）
inline void djs (int cur) {
std:: priority_queue < NODE > pq;
nd.x = cur, nd.z = 0; pq.push(nd);
for (int i = 1; i <= n; ++i) dis[i] = INF;
dis[cur] = 0;
while (!pq.empty()) {
nd = pq.top(); pq.pop();
int i = nd.x;
if (vis[i]) continue;
vis[i] = true;
for (auto &j: g[i])
if (dis[i] + j.z < dis[j.to]) {
dis[j.to] = dis[i] + j.z;
nd.x = j.to, nd.z = dis[j.to]; pq.push(nd);
}
}
}
遇到负环：可以同时记录最短路的边数，边数 \(\geq n\) 则存在负环。
联通问题
- 点双连通分量: 删一个点后 其余点仍然联通
- 边双连通分量: 删一个边后 其余点仍然联通
- 割点: 删去此点后不再联通
当且仅当：点 \(u\) 存在儿子 \(v\) 使得 \(low_v \geq dfn_u\) 或点 \(u\) 为搜索的起始点且有 \(\geq 2\) 个儿子时 \(u\) 为割点。 - 割边（桥）: 删去此边后不再联通
当且仅当 \(low_v > dfn_u\) 时边 \((u,v)\) 为割边。
注意：有重边的时候，可以为边加上编号，同时限制无向边不走回头路即可。
以下各题均使用 tarjan 算法，利用时间戳跑 dfs 求解。时间复杂度 \(O(n+m)\)。
P8435 【模板】点双连通分量
int n, m, ans;
std:: vector < int > g[500003], av[500003];
int dfn[500003], low[500003], cnt = 0;
std:: stack < int > s;
void dfs (int x) {
dfn[x] = low[x] = ++cnt; s.push(x);
for (auto &i: g[x])
if (!dfn[i]) {
dfs(i);
low[x] = std:: min(low[x], low[i]);
if (low[i] >= dfn[x]) {
++ans;
while (s.size()) {
int t = s.top(); s.pop();
av[ans].push_back(t);
if (t == i) break;
}
av[ans].push_back(x);
}
}
else
low[x] = std:: min(low[x], dfn[i]);
}
inline void kagari () {
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
int x, y; scanf("%d %d", &x, &y);
if (x == y) continue;
g[x].push_back(y), g[y].push_back(x);
}
for (int i = 1; i <= n; ++i)
if (!dfn[i]) {
if (g[i].size()) dfs(i);
else av[++ans].push_back(i);
}
printf("%d\n", ans);
for (int i = 1; i <= ans; ++i) {
printf("%d ", av[i].size());
for (auto &j: av[i]) printf("%d ", j);
puts("");
}
return;
}
P3388 【模板】割点（割顶）
int n, m;
int head[20003], last[200003], to[200003], ccnt = 0;
#define addedge(x, y) last[++ccnt] = head[x], to[ccnt] = y, head[x] = ccnt
int dfn[20003], low[20003], cnt = 0;
bool f[20003]; int ans = 0;
inline void dfs (int x, int fa) {
dfn[x] = low[x] = ++cnt;
int child = 0;
#define y to[k]
for (int k = head[x]; k; k = last[k]) if (!dfn[y]) {
if (y != fa) dfs(y, x), ++child;
low[x] = min(low[x], low[y]);
if (!fa && child > 1 || fa && low[y] >= dfn[x]) f[x] = true;
} else low[x] = min(low[x], dfn[y]);
#undef y
}
inline void kagari () {
scanf("%d %d", &n, &m); for (int i = 1; i <= m; ++i) { int x, y; scanf("%d %d", &x, &y); addedge(x, y), addedge(y, x); }
for (int i = 1; i <= n; ++i) if (!dfn[i]) dfs(i, 0);
for (int i = 1; i <= n; ++i) if (f[i]) ++ans;
printf("%d\n", ans); for (int i = 1; i <= n; ++i) if (f[i]) printf("%d ", i);
return;
}
P8436 【模板】边双连通分量
和求桥类似，在 \(dfn_x==low_x\) 时栈顶到 \(x\) 都是一个边连通分量。
int n, m, ans;
std:: vector < std:: pair < int, int > > g[500003];
std:: vector < int > av[500003];
int dfn[500003], low[500003], cnt = 0;
std:: stack < int > s;
void dfs (int x, int last) {
dfn[x] = low[x] = ++cnt; s.push(x);
for (auto &i: g[x]) {
if (i.second == (last ^ 1)) continue; // 不走回头路
if (!dfn[i.first]) {
dfs(i.first, i.second);
low[x] = std:: min(low[x], low[i.first]);
}
else
low[x] = std:: min(low[x], dfn[i.first]);
}
if (dfn[x] == low[x]) {
++ans;
while (s.size()) {
int t = s.top(); s.pop();
av[ans].push_back(t);
if (t == x) break;
}
}
}
inline void kagari () {
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
int x, y; scanf("%d %d", &x, &y);
if (x == y) continue;
g[x].push_back(std:: make_pair(y, i << 1)), g[y].push_back(std:: make_pair(x, i << 1 | 1)); // 注意是 2i 和 2i+1
}
for (int i = 1; i <= n; ++i)
if (!dfn[i])
dfs(i, 0); // 不需要再特判是否是孤立点了，因为在 dfs 时还会加上这个答案
printf("%d\n", ans);
for (int i = 1; i <= ans; ++i) {
printf("%d ", av[i].size());
for (auto &j: av[i]) printf("%d ", j);
puts("");
}
return;
}
最小生成树
对一个图，边权和最小的生成树是其最小生成树。
使用 Kruskal 算法，贪心+并查集，每次枚举最短的那条边，时间复杂度为 \(O(m\log m)\)。
int n, m;
struct NODE {
int x, y, z;
inline bool operator < (const NODE &rhs) const { return z < rhs.z; }
} g[200003];
int fa[5003];
inline int getfa (int x) {
if (fa[x] == x) return x;
return (fa[x] = getfa(fa[x]));
}
inline void kagari () {
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; ++i) fa[i] = i;
for (int i = 1; i <= m; ++i) { int x, y, z; scanf("%d %d %d", &x, &y, &z); g[i].x = x, g[i].y = y, g[i].z = z; }
std:: sort(g + 1, g + m + 1);
int mnt = 0, ans = 0;
for (int i = 1; mnt < n && i <= m; ++i)
if (getfa(g[i].x) != getfa(g[i].y)) fa[getfa(g[i].x)] = getfa(g[i].y), ans += g[i].z, ++mnt;
if (mnt != n - 1) printf("orz\n");
else printf("%d\n", ans);
return;
}
树问题集合
树的直径
树中两个点距离的最大值，称为树的直径。
做法：\(O(n)\)，两次 dfs, 第一次从 \(i\) 号开始找最远的点 \(u\)，\(i\) 为任意数，第二次从 \(u\) 点开始找最远的点 \(v\)。则 \(u, v\) 构成直径。证明略。
树的中心
以点 \(u\) 为根时，从 \(u\) 出发的最长链最短，那么称 \(u\) 为这棵树的中心。它一定在树的直径上。
树链剖分
updating...
二分树
略。见 ICPC 2025 网络赛第一场。
( ﾟ∀ﾟ)o彡゜ ヒーコー ヒーコー！
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