制导控制4：制导回路寄生效应

1.问题描述

1.1系统阶数
如果飞行时间并不明显大于制导系统的时间常数，那么零阶和一阶惯性环节制导系统的性能差异可能会很显著。一阶和零阶制导系统都是方便的解析模型，但并不完全符合实际情况。采用更高阶的制导系统表示是否会影响系统性能是很重要的。为了分开时间常数和系统阶次的影响，使用二项式表示制导系统是很方便的：
$ \frac{n_L}{\dot{\lambda }}=(N^{'}V_c)/\left [ \left ( \frac{1+sT}{n} \right )^n \right ]$

其中，\(T\)是惯性环节时间常数，\(n\)是制导系统阶数。如果\(n=1\)，二项式制导系统简化为一阶延迟制导系统。
下图显示了对于一个二项式制导系统，当有效导航比为4且有效制导系统时间常数为1秒时，由于目标进行3g机动引起的偏差随飞行时间和系统阶数的变化情况。可以看出，当飞行时间没有比惯性环节时间常数大一个数量级时，一阶延迟制导系统模型得出的性能预测会严重低估目标机动对偏差的影响。随着系统阶数增加，系统阶数的重要性及其对系统性能的影响会变得不那么明显。如果需要准确的性能预测，就必须对所考虑的制导系统进行准确建模（通常它不是二项式的）。

1.2分析模型
用于分析的模型是五阶二项式比例制导系统,示意图如下,这个制导系统的传递函数是：
$ \frac{n_L}{\lambda}=(N^{'}V_c s)/\left [ \left ( \frac{1+sT}{5} \right )^5 \right ]$

1.3寄生效应
对于二项式制导系统的分析结论，较小的时间常数和较大的有效导航比率似乎会提升系统性能。实际上，导引回路中存在的寄生或不想要的反馈路径会朝着较大的时间常数和较小的有效导航比率的方向工作。在战术雷达制导导弹应用中，最严重的一个不想要的反馈路径是由导弹雷达罩造成的。雷达罩会导致入射雷达波发生折射或弯曲，从而给出目标位置的错误指示。与导弹机动性相关的一个参数，与雷达罩效应有显著的相互作用，是转弯率时间常数\(T_a\)。如果我们考虑下图的基本几何结构，

转弯率时间常数可以定义为将导弹飞行路径角\(\gamma\)转动到等效攻角\(\alpha\)所需的时间，
\(T_a=\frac{\alpha }{\dot{\gamma}}\)
现在开始分析转弯率时间常数是如何影响导引回路性能的。从上图中可知导弹的俯仰角\(\theta\)可以表示为：
$\theta =\gamma +\alpha $
两边同时对时间积分得到：

$ \dot{\theta} =\dot{\gamma} +\dot{\alpha}= \dot{\gamma} + \frac{s\alpha \dot{\gamma} }{\dot{\gamma}} $

因为导弹的过载垂直于飞行速度，可得：
\(n_L = V_M \dot{\gamma}\)
导弹的俯仰角速度可以表示为：
\(\dot{\theta} =\frac{n_L}{V_M} + sT_a\frac{n_L}{V_M}\)
两边同时除以\(n_L\),得到导弹俯仰角速度传递函数
\(\frac{\dot{\theta}}{n_L} =\frac{1}{V_M}\left ( 1 + sT_a \right )\)
现在分析导弹的空气动力学传递函数是如何与雷达罩相互作用的。其中制导头并没有指向实际目标，这是由于导引头的动态特性和雷达罩的影响造成的。雷达罩的折射角\(r\)会随导引头框架角\(\theta_H\)的变化而变化。

在初步分析中，通常假设折射角\(r\)与框架角\(\theta_H\)成线性关系，
\(r = R \theta_H\)
其中\(R\)为雷达罩斜率，雷达罩的斜率与雷达罩材料、雷达罩直径、细长比以及入射信号波长相关。
根据上图，导弹的视轴误差$ \varepsilon $可以表示为

$ \varepsilon = \lambda - \theta -\theta_H + r = \lambda - \theta -\theta_H + R\theta_H $
将雷达罩折射的反馈回路和俯仰角速度反馈回路添加到制导系统中，当R=0时就忽略了雷达罩影响，得到五阶的二项式制导系统

2、计算

clc;
% ENGAGEMENT SIMULATION WITH RADOME EFFECTS
VC = 4000;  %弹目相对速度
XNT = 32.2;  %目标机动过载 1g
YIC = 0;  %初始脱靶量
VM = 3000;  %导弹飞行速度
heading_error = 0;  %指向误差
tau = 0.75;  %惯性环节时间常数
XNP = 5;  %有效导航系数
TA = 5;  %转弯率时间常数
R= -0.01;  %雷达罩斜率
count = 0;

for TF = 0.1:0.1:10  %最终命中时间，从0.1s计算至10s
    Y = YIC;                      %脱靶量 初始值
    YD = -VM*heading_error/57.3;  
    YDIC = YD;                    %脱靶量的一阶导 初始值
    XNL = 0;                      %导弹过载
    ELAMDH = 0;                   %视线角速度
    x4 = 0;
    x5 = 0;
    theta_H1 = 0;                % \theta
    theta_H2 = 0;                % \theta_H
    T = 0.0;                     %飞行时间
    H = 0.01;                    %求解时间步长
    while T <= (TF - 1e-5)
        Y_old = Y;               %保存初始值
        YD_old = YD;
        XNL_old = XNL;
        ELAMDH_old = ELAMDH;
        x4_old = x4;
        x5_old = x5;
        theta_H1_old = theta_H1;
        theta_H2_old = theta_H2;
        step = 1;
        flag = 0;
        while step <= 1                                       %step=1 flag=0 先通过初始值计算斜率
            if flag == 1                                      %step=2 flag=1 通过斜率计算出预测值
                step = 2;                                     %最后通过预测值计算新斜率，结束循环
                Y = Y + H*YD;                          
                YD = YD + H*YDD;
                XNL = XNL + H*XNLD;
                ELAMDH = ELAMDH + H*ELAMDHD;
                x4 = x4 + H*x4D;
                x5 = x5 + H*x5D;
                theta_H1 = theta_H1 + H*theta_H1D;
                theta_H2 = theta_H2 + H*theta_H2D;
                T = T+H;
            end
            T_go = TF - T + 1e-5;                             %计算剩余飞行时间
            XLAM = Y/(VC*T_go);                               %计算视线角\lambda
            eps = XLAM - theta_H1 - theta_H2 + R*theta_H2;    %计算视轴误差
            DD = eps*5/tau;                                   %导引头框架到参考平面角度的导数
            ELAMDHD = 5*(DD - ELAMDH)/tau;                    %Noise fliter （ELAMDH表示视线角速度）
            XNC = ELAMDH*XNP*VC;                              %比例导引计算过载指令
            x4D = 5*(XNC - x4)/tau;                           %Flight control system-1
            x5D = 5*(x4-x5)/tau;                              %Flight control system-2
            XNLD = 5*(x5 - XNL)/tau;                          %Flight control system-3
            theta_H1D = (XNL + XNLD*TA)/VM;                   %Aerodynamic 传递函数
            theta_H2D = DD - theta_H1D;                       %计算\theta_H
            YDD = XNT - XNL;                                  %nL-nT
            flag = 1;
        end
        flag = 0;
        Y = 0.5*(Y + Y_old + H*YD);                          %（n+1）值 = 初始值 + 预测值 + 时间步*斜率
        YD = 0.5*(YD + YD_old + H*YDD); 
        XNL =  0.5*(XNL + XNL_old + H*XNLD);
        ELAMDH = 0.5*(ELAMDH + ELAMDH_old + H*ELAMDHD);
        x4 = 0.5*(x4 + x4_old + H*x4D);
        x5 = 0.5*(x5 + x5_old + H*x5D);
        theta_H1 = 0.5*(theta_H1 + theta_H1_old + H*theta_H1D);
        theta_H2 = 0.5*(theta_H2 + theta_H2_old + H*theta_H2D);
    end
    count = count + 1;
    ArrayTF(count) = TF;
    ArrayY(count) = Y;
end

 figure
 hold on
 %plot(ArrayTF,ArrayY1,'-',ArrayTF,ArrayY2,ArrayTF,ArrayY3,'--'),grid
 xlabel('Flight Time (Sec)')
 ylabel('Miss (Ft)')

3.计算结果
下图给出了转弯率时间常数对脱靶量的影响。本算例目标机动过载1g，制导系统时常数为0.5秒，雷达罩斜率为-0.01，有效导航比为3。转弯率时间常数从0到10秒变化。当转弯率时间常数为零时，脱靶量响应实际上与回路中没有寄生效应的情况几乎相同。当转弯率时间常数增加到5秒时，脱靶量响应开始变得更加振荡，但偏差距离仍然很小，并且随着飞行时间的增加趋向于零。最后，当转弯率时间常数增加到10秒时，偏差距离响应变得不稳定。

下图给出了雷达罩斜率为-0.01时，由1g目标机动引起的误差距离随飞行时间变化的情况，对比了两种不同的有效导航比值。更高的有效导航比有不稳定的影响。这并不奇怪，因为实际上我们是在增加引导系统增益。因此，设计时希望将有效导航比保持尽可能小以满足稳定性要求，同时又足够大以确保拦截有效。

参考文献
[1]Paul Zarchan. Tactical and Strategic Missile Guidance[M]. Six edition.