算例收集8：TENO格式算例

1.TENO格式
TENO（Targeted Essentially Non-Oscillatory）格式是在ENO（Essentially Non-Oscillatory Scheme）格式基础上的一种发展。该格式和之前的文章中给出的WENO（weighted Essentially Non-Oscillatory）格式同出一派。
ENO格式选择一系列候选模板中最平滑的通量，WENO格式通过使用所有候选模板的凸组合来近似通量，对于所有候选模板，无论其光滑程度如何，都会赋予一个非零的权重（尽管不光滑的模板权重很小）。这是一种“温和”的加权策略，保证了稳定性但在光滑区域引入了不必要的数值耗散。TENO格式针对WENO格式中耗散较大的问题且进行了改进：
TENO格式通过一组逐渐增宽的低阶候选模板重建通量。由于基于强尺度分离的类ENO模板选择策略，TENO格式的数值耗散显著降低。对于所有候选模板，TENO格式引入一个锐利的截断阈值开关函数，它会严格判断每个候选模板是否“足够光滑”，这种“非黑即白”的策略最大限度地减少了来自非光滑模板的数值耗散，在光滑区域能更好地保持高精度和低耗散的特性。由于其激进的耗散控制策略，TENO格式能更好地保留高频（小尺度）信息。
综上所述，TENO格式的优势在于1、耗散显著降低，更好地保持小尺度结构；2、对激波的捕捉性能更优异。

2. 五阶---TENO5格式
五阶精度的TENO格式使用的模板和WENO格式类似，单元界面上的通量由三个模板的线性组合构成：
\(\hat{f}_{i+1/2} = \sum_{k=0}^{r-1}d_k f_{i+1/2}^{k}\)
其中，r=3，最佳的权重分别为d0 = 0.6、d1 = 0.3、d2 = 0.1，候选模板中通量的近似值是：
\(\begin{matrix} f_{i+1/2}^{0} = 1/6(-f_{i-1}+5f_{i}+2f_{i+1})\\f_{i+1/2}^{1} = 1/6(2f_{i}+5f_{i+1}-f_{i+2}) \\f_{i+1/2}^{2} = 1/6(2f_{i-2}-7f_{i-1}+11f_{i}) \end{matrix}\)
当地光滑指示因子和WENO-JS格式一致：
\(\left\{\begin{matrix} IS_0=\frac{13}{12}(q_{i-2}-2q_{i-1}+q_{i})^2+\frac{1}{4}(q_{i-2}-4q_{i-1}+3q_{i})^2 \\IS_1=\frac{13}{12}(q_{i_1}-2q_{i}+q_{i+1})^2+\frac{1}{4}(q_{i_1}-q_{i+1})^2 \\IS_2=\frac{13}{12}(q_{i}-2q_{i+1}+q_{i+2})^2+\frac{1}{4}(3q_{i}-4q_{i+1}+q_{i+2})^2 \end{matrix}\right.\)
对于TENO5格式，每个模板对应的光滑因子由下式给出：
\(\gamma_k = (C+\frac{\tau_k}{IS_k+\varepsilon })^q\)
其中，\(\tau_k\)是全局光滑因子，一般\(\tau_k = \left | IS_1- IS_2\right |\)，C一般取1，\(\varepsilon\)为了避免除零为一个很小的数，q一般取为6。
TENO格式中的关键特点就是使用了一个截断函数，平均化的光滑因子为：
$\chi_k = \frac{\gamma_k}{\sum_{k=0}^{r-1}\gamma_k} $
截断函数则表示为：
\(\delta _k = \left\{\begin{matrix} 0, if \chi _k<C_t \\ 1,otherwise \end{matrix}\right.\)
\(C_t\)是过滤跨过间断的模板，当\(\chi_k\)小于\(C_t\)时，该模板将会从重构过程中移除，根据计算条件一般取\(C_t=10^{-5}\)
最优的模板权重\(d_k\)被重新平均化为：
\(\omega _k = \frac{\delta _k d_k}{\sum_{m=0}^{r-1}\delta _m d_m}\)
最终的TENO5格式界面通量由下式计算：
\(\hat{f}_{i+1/2} = \sum_{k=0}^{r-1}\omega_k f_{i+1/2}^{k}\)

3.计算结果
下面给出WENO5和TENO5不同算例结果的对比情况。
3.1 二维Riemann算例

3.2 双马赫反射算例

3.3 二维Rayleigh-Taylor算例

通过上述三个算例可以明显看出TENO格式耗散更小，能够更好地保持小尺度结构！