通俗理解齐次变换矩阵复合变换的时候变换顺序不可逆——下
为防止文章过长乏味，将此博客分为上下两篇。下篇是对上篇例题的例题常规求解和线性代数的解释。
常规求解
固连在坐标系（𝑛,𝑜,𝑎）上的点P(7,3,2)T 经历如下变换，求出变换后该点相对于固定参考坐标系的坐标。
（1）绕z轴旋转90°；
（2）接着绕y轴旋转90°；
（3）接着再平移[4,-3,7]；
倒转一下（2）和（3）的顺序
（1）绕z轴旋转90°；
（2）接着再平移[4,-3,7]；
（3）接着绕y轴旋转90°；
对比不同顺序的同一个步骤而言，直接看图我觉得有点抽象。大家可用自己的手臂一次平移一次旋转摆弄一下。
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线性代数的解释
- 矩阵的行数和列数不允许相乘，上一个矩阵的列数不等于下一个矩阵的行数。
如3x2的A和2x5的B可以相乘，但是BA这样的乘法是不允许的、没有定义的。 - 即使转换乘法顺序后，上一个矩阵的列数仍等于下一个矩阵的行数，得到的结果也可能不相等。
A = [ − 2 4 1 − 2 ] \pmb{A}=\begin{bmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -2\\ \end{bmatrix} AAA=[−214−2]
B = [ 2 4 − 3 − 6 ] \pmb{B}=\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ -3 & -6\\ \end{bmatrix} BBB=[2−34−6]
A B = [ − 2 4 1 − 2 ] [ 2 4 − 3 − 6 ] = [ − 16 − 32 8 16 ] \pmb{AB}=\begin{bmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -2\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ -3 & -6\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -16 & -32 \\ 8 & 16\\ \end{bmatrix} ABABAB=[−214−2][2−34−6]=[−168−3216]
B A = [ 2 4 − 3 − 6 ] [ − 2 4 1 − 2 ] = [ 0 0 0 0 ] \pmb{BA}=\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ -3 & -6\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -2\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} BABABA=[2−34−6][−214−2]=[0000]
A B ≠ B A \pmb{AB}\neq \pmb{BA} ABABAB=BABABA
参考资料
同济大学数学系，工程线性代数第六版
通俗理解齐次变换矩阵复合变换的时候变换顺序不可逆——上
通俗理解齐次变换矩阵复合变换的时候变换顺序不可逆——下
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