极限中的等价代换

一则有趣例题：

求 \(\lim_{x\to a} \limits (2-\dfrac{x}{a})^{tan\frac{\pi x}{2a}}\)。

常规做法：

​ 注意到原式为 \(0^\infin\) 型极限，转化为 \(\lim_{x\to a} \limits \exp(\dfrac{\ln(2-\dfrac{x}{a})}{\cot(\dfrac{\pi x}{2a})})\)，运用洛必达法则计算内部极限：

​ \(\lim_{x \to a} \limits \dfrac{\ln(2-\dfrac{x}{a})}{\cot(\dfrac{\pi x}{2a})} = \lim_{x \to a} \limits \dfrac{-\dfrac{1}{a}}{2-\dfrac{x}{a}} \times\dfrac{1}{(-\csc^2\dfrac{\pi x}{2a})(\dfrac{\pi}{2a})} = \dfrac{2}{\pi}\)。

​ 故答案为 \(e^{\frac{2}{\pi}}\)。

邪道做法：

​ 在初步转化后，等价无穷小：\(\lim_{x \to a} \limits \dfrac{\ln(2-\dfrac{x}{a})}{\cot(\dfrac{\pi x}{2a})} = \lim_{x \to a} \limits \dfrac{\ln(2-\dfrac{x}{a})}{\tan(\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi x}{2a})} = \lim_{x \to a} \limits \dfrac{\ln(2-\dfrac{x}{a})}{\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi x}{2a}} = \lim_{x \to a} \limits \dfrac{1-\dfrac{x}{a}}{\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi x}{2a}}\)。

​ 再运用洛必达法则：\(\lim_{x \to a} \limits \dfrac{-\dfrac{1}{a}}{-\dfrac{\pi}{2a}} = \dfrac{2}{\pi}\)，答案为 \(e^{\frac{2}{\pi}}\)。

邪道做法省去了复杂求导，似乎比常规做法优秀？

另一则经典例题：

求 \(\lim_{x\to 0} \limits \dfrac{x - \sin x}{x^3}\)。

常规做法：

​ 原式为 \(\dfrac{0}{0}\)，运用洛必达法则，\(\lim_{x\to 0} \limits \dfrac{1-\cos x}{3x^2} = \lim_{x\to 0} \limits \dfrac{\sin x}{6x} = \dfrac{1}{6}\)。

邪道做法：

​ \(x \to 0, x\to \sin x\) 吗？极限为 \(0\)？

至此，引出本篇文章核心讨论话题：计算极限中等价运算的本质。

考虑我们运用等价无穷小的根据：\(\lim_{x \to x_0/\infin} \limits \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1\)，结合极限的四则运算性质，进行类似于 \(\lim_{x\to x_0/\infin} \limits \dfrac{p(x)}{h(x) - g(x)} = \lim_{x\to x_0/\infin} \limits \dfrac{p(x)}{h(x) - g(x)\times1} = \lim_{x\to x_0/\infin} \limits \dfrac{p(x)}{h(x) - g(x) \times \lim_{x\to x_0/\infin} \limits \dfrac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x\to x_0/\infin} \limits \dfrac{p(x)}{h(x) - f(x)}\) 的等价运算。

这里需要注意的是，运用极限四则运算性质的前提是四则运算的两个极限均存在。

从这个角度回看，第一道例题中的邪道做法本质上是：

\(\lim_{x \to a} \limits \dfrac{\ln(2-\dfrac{x}{a})}{\tan(\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi x}{2a})} = \lim_{x \to a} \limits \dfrac{1-\dfrac{x}{a}}{\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi x}{2a}} \times \lim_{x \to a} \limits \dfrac{\ln(2-\dfrac{x}{a})}{1-\dfrac{x}{a}} \times \lim_{x \to a} \limits \dfrac{\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi x}{2a}}{\tan(\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi x}{2a})} = \lim_{x \to a} \limits \dfrac{1-\dfrac{x}{a}}{\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi x}{2a}}\)。

第二步中三个因子的极限均存在，故等价无穷小运用合理。

而第二题中 \(\lim_{x\to 0} \limits \dfrac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x\to 0} \limits \dfrac{1}{x^2} - \lim_{x\to 0} \limits \dfrac{\sin x}{x^3}\) 这一步以及后续将 \(\lim_{x\to 0} \limits \dfrac{\sin x}{x}\) 乘上时极限都不存在，故不能进行四则运算。

至此我们大致明白了对等价无穷小运算的经典观点：乘除中可使用，加减中谨慎。

乘除可以使用的根本在于原题目的极限存在，在乘除过程中运用等价无穷小后极限一定仍然存在（若题目答案便为 \(\infin\) 则运算结果也为 \(\infin\)）。

但是这个“谨慎”并不足以让我们满意，且第二题中分母若为 \(x^4\) 极限为 \(0\)，故对于四则运算之外等价的真正本质尚未清晰。

再次观察经典极限 \(\lim_{x\to 0} \limits \dfrac{\sin x}{x} = 1\)，它的真正意义是什么？

考虑泰勒展开的麦克劳林展式：\(\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + o(x^3)\)。

原式为 \(\lim_{x \to 0} \limits \dfrac{x - \dfrac{x^3}{3!} + o(x^3)}{x} = 1\)。

等价无穷小部分作用便是将非幂形式的初等函数转化为幂函数，进而简化运算，而将初等函数转化为幂函数的最好工具恰恰是泰勒展开。正如 \(x \to 0, \sin x = x\) 其实是将泰勒展开的 \(1\) 阶展开，等价无穷小本质上是泰勒的截断式运用。

回到第二题：\(\lim_{x\to 0} \limits \dfrac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x\to 0} \limits \dfrac{x - (x - \dfrac{x^3}{3!} + o(x^3))}{x^3} = \lim_{x\to 0} \limits \dfrac{\dfrac{x^3}{3!} - o(x^3)}{x^3} = \dfrac{1}{6}\)。

故从此出发，我们可以认为等价无穷小运用条件的本质是对分子分母展开阶数的比较与选择。

对于一些涉及指数与底数的等价无穷小，我们可以通过 \(\exp\) 将其转化为四则运算进而进行判别：

\(\lim_{x\to0} \limits(\dfrac{\arcsin x}{x})^{\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to0} \limits \exp(\dfrac{1}{x^2}\ln\dfrac{\arcsin x}{x})\)，此时分母为 \(x^2\)，而 \(\dfrac{\arcsin x}{x} - 1\) 的阶数也恰好是 \(x^2\) 的（\(\ln x\) 在 \(1\) 处的展开为一阶的），故该极限存在且为 \(\arcsin x\) 泰勒展开中 \(x^3\) 的系数乘以 \(\ln x\) 泰勒展开中 \((x-1)\) 的系数。

思考题：求 \(\lim_{x \to +\infin} \limits \dfrac{(1+\dfrac{1}{x})^{x^2}}{e^x}\)。

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