礼物的最大价值

题目描述

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

• 提示：
• 0 < grid.length <= 200
• 0 < grid[0].length <= 200

分析

典型的动态规划问题，状态定义二维数组dp[i][j]，表示从左上角开始到当前位置的礼物的最大价值。

观察表格，dp[i][j]只能从上或者从左两个方向中选取较大值再加上grid[i][j]得到，所以状态转义方程是：
dp(i,j)=max[dp(i,j−1),dp(i−1,j)]+grid(i,j)

• 初始状态：dp[0][0] = grid[0][0]。
• 第一行：dp[0][j]=grid[0][j]+0;
• 第一列：dp[i][0] =grid[i][0]+0;

因此dp可以多扩列一行一列，默认全是0，从dp[1][1]开始，当前礼物的最大价值就是
max(当前元素的上一行元素，当前元素的左邻元素)+grid[i][j]。

最终返回最后的状态即可。

代码实现

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
       int [][]dp = new int[grid.length+1][grid[0].length+1];
       for(int i=1;i<dp.length;i++){
           for(int j=1;j<dp[0].length;j++){
              dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i-1][j-1];
           }
       } 
       return dp[grid.length][grid[0].length];
    }
}