LCA--倍增法

一般来求LCA有3种方法

1.倍增

2.RMQ+欧拉序

3.tarjan(离线)

 

本文将倍增求lca

这个算法是很常见很常见

也是较好理解的

(我也不明白假期学长讲的时候我为什么死活都不明白

 自闭qwq

 对不起学长qwq

 明明学长讲的是最好的qwq

 想学长了qwq)

 

---------------------------------------------------------------------------

 

一、基础概念

LCA定义:

  LCA(Lowest Common Ancestors),即最近公共祖先,是指在有根树中,找出某两个结点u和v最近的公共祖先。

 

如图,结点4,6的公共祖先有1、2,但最近的公共祖先是2,即Lca(4,6) = 2

 

 

显然遇到这个问题

首先会想到暴力

再一算

时间复杂度"仅仅"是O(n)而已啦

可是如果有q次询问呢

比如说洛谷板子题

n和q(这里的q即板子题中的m都是5 * 105的级别的

那么n*q就是一个不小的数了

那么暴力一定是过不了的了

那么就只能优化优化了

 

 

--------------------------------------------------------------------

 

倍增法:

 

注意到u,v走到最近公共祖先w之前,u,v所在结点不相同。

而到达最近公共祖先w后,再往上走仍是u,v的公共祖先,即u,v走到同一个结点,这具有二分性质。

于是可以预处理出一个2k的表,

fa[k][u]表示u往上走2k步走到的结点,令根结点深度为0,则2k>depth[u]时,令fa[k][u]=-1(不合法情况的处理)

 

 

不妨假设depth[u] < depth[v]

①将v往上走d = depth[v] - depth[u]步,此时u,v所在结点深度相同,该过程可用二进制优化。

由于d是确定值,将d看成2的次方的和值,d = 2k1 + 2k2 + ... + 2km,利用fa数组,如v = fa[k1][v],v = fa[k2][v]加速。

②若此时u = v,说明Lca(u,v)已找到

③利用fa数组加速u,v一起往上走到最近公共祖先w的过程。

令d = depth[u] - depth[w],虽然d是个未知值,但依然可以看成2的次方的和。

从高位到低位枚举d的二进制位,设最低位为第0位,若枚举到第k位,有fa[k][u] != fa[k][v],则令u = fa[k][u],v = fa[k][v]。

最后

最近公共祖先w = fa[0][u] = fa[0][v],即u和v的父亲

 

 

 

 

 

如何预处理?
    k=0时,fa[k][u]为u在有根树中的父亲,令根结点fa[k][root]=-1。

 k>0时,fa[k][u]=fa[k-1][fa[k-1][u]]。树的高度最多为n,k是logn级别。

 

时间复杂度?
    预处理O(nlogn)
    单次查询O(logn)

 

来个板子题也很好理解呀(传送门

上面提到过的

罗姑上也有板子题

但是我最近是由hdu的oj写的

正好还有那个的代码就直接拿过来了

 

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define maxn 40000
using namespace std;

struct EDGE
{
    int nxt,to,v;
}edge[maxn*2+5];
//链式前向星(可以用结构体,也可以用独立的数组) 
//注意这里结构体的大小,下面会说的 

int T,n,root,cnt,m;
//T次模拟,cnt为边的个数(边的编号),n个点的树,m次询问,root是树的根(有的lca中没有给出根节点的标号,需要自己找,这里就没给) 
int head[maxn+5],dep[maxn+5],dis[maxn+5];
//head也是属于链前中的内容,写在这里因为[]中为点的标号,所以它的大小就是节点数的大小
//dep存每个节点的深度,dis存每个节点到根节点的深度 
int f[maxn+5][25];//前面的[i]为i节点 ,后面的[j]为从i节点往上跳2^j个节点 
bool vis[maxn+5];//用来找根节点特意开的一个数组 

void add(int x,int y,int z)//加边(用链式前向星存边) 
{
    edge[++cnt].to=y;
    edge[cnt].v=z;
    edge[cnt].nxt=head[x];
    head[x]=cnt;
}

void dfs(int u,int fa)
{
    dep[u]=dep[fa]+1;//深度加一 
    for(int i=0; i<=22; i++)//预处理,处理出u节点蹦2^i个节点所到达的节点编号 
    {
        f[u][i+1]=f[f[u][i]][i];
    }
    for(int i=head[u]; i; i=edge[i].nxt)//遍历他的出边(dfs) 
    {
        if(edge[i].to==fa)
        {
            continue;
        }//(因为正反都加边了)如果这个边指向的点是u节点的父节点,不dfs这个 
        dis[edge[i].to]=dis[u]+edge[i].v;//距离 
        f[edge[i].to][0]=u;//父节点 
        dfs(edge[i].to,u);
    }
}

int LCA(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y])
    {
        swap(x,y);
    }//使x是最深的那个点 
    for(int i=22; i>=0; i--)
    {
        if(dep[f[x][i]]>=dep[y])//如果蹦的话x的深度仍比y的深度深,那就蹦,否则不蹦 
        {
            x=f[x][i];
        }
        if(x==y)//如果x蹦到了y,那么此时的x(也就是y)就是lca 
        {
            return x;
        }
    }
    //此时x和y的深度相同,但不是同一个节点 
    for(int i=22; i>=0; i--)
    {
        if(f[x][i]!=f[y][i])//如果x和y蹦完了到了相同的节点,那么蹦到的节点一定大于或等于lca 
        {//所以只有蹦到了不同的节点,才可以蹦(这样才能保证没蹦超出lca) 
            x=f[x][i];
            y=f[y][i];
        }
    }
    return f[x][0];//离真正的lca只差一步(此时不管蹦多少都超,所以前面的循环只能使x是离lca只差一层的节点) 
}

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)//T次模拟(每次询问都是用新的树,因此要把之前的数组全部清空) 
    {
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        memset(edge,0,sizeof(edge));
        memset(f,0,sizeof(f));
        memset(dep,0,sizeof(dep));
        memset(head,0,sizeof(head));
        memset(dis,0,sizeof(dis));
        cnt=0;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1; i<=n-1; i++)
        {
            int x,y,z;
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            vis[y]=1;
            add(x,y,z); 
            add(y,x,z);//因为不知道x和y谁是爸爸,所以就正反都加边 ,所以结构体的大小要开两倍 
        }
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            if(vis[i]==0)
            {
                root=i;
                break;
            }
        }//没有被标记过的是根节点 
        dfs(root,0);
        for(int i=1; i<=m; i++)
        {
            int a,b;
            scanf("%d%d",&a,&b);
            printf("%d\n",dis[a]+dis[b]-2*dis[LCA(a,b)]);
        }
    }
    return 0;
}

 

posted @ 2019-03-25 23:30  darrrr  阅读(683)  评论(0编辑  收藏