有意思的题目

从网上收集来的面试题，不定期更新。

 

1. 麦当劳出了一套儿童玩具，包括五个人物，买一个儿童套餐可以随机得到一个人物。假设一个店里面玩具的数量无限，问拿到5个人物所需要买的套餐数的期望值是多少？

这道题用暴力计算的方法是很难直接算得结果的，用递推就方便得多。

假设一共有m个人物，现在需要取得其中的指定的n个。（例如，一共有a, b, c, d, e 5个人物，现在想要取得其中的c, d, e）。设期望值为E(m, n)。现在买一份套餐。有可能我们运气比较好，恰好买到了这n个人物中的一个，那么接下来我们就只需要再取得剩下的(n-1)个；也有可能我们运气不好，买到的是那(m-n)个我们不需要的任务，那接下来还是得取得n个人物。

因此，E(m, n) = n / m * ( 1 + E(m, n-1) ) + (m - n) / m * ( 1 + E(m, n ) )

调整一下，就得到 E(m, n) = E(m, n-1) + m / n

所有的递推公式都需要知道初值才能求结果。在这里就是n = 0，显然，E(m, 0) = 0。

于是，E(5, 5) = 5/5 + 5/4 + 5/3 + 5/2 + 5/1 = 137/12

 

2. 英雄升级，从0级升到1级，概率100%。

从1级升到2级，有1/3的可能成功；1/3的可能停留原级；1/3的可能下降到0级；
从2级升到3级，有1/9的可能成功；4/9的可能停留原级；4/9的可能下降到1级。
每次升级要花费一个宝石，不管成功还是停留还是降级。
求英雄从0级升到3级平均花费的宝石数目。

据说是网易游戏的笔试题。也是用暴力计算非常难处理的题目。怎么办？仍然利用状态之间的转换关系。假设从第n 级(n = 0, 1, 2) 升级到第3级的概率为 E(n)。

对于第0级，花费一个宝石之后肯定升到第1级。因此有 E(0) = 1 + E(1)

对于第1级，花费一个宝石之后有1/3的概率下降到0级，1/3的概率停留原级，1/3的概率升到2级。不管结果如何，都需要花费一个宝石。因此有 E(1) = 1/3 * ( 1 + E(0) ) + 1/3 * (1 + E(1) ) + 1/3 * (1 + E(2) )。

对于第2级，同理有 E(2) = 4/9 * ( 1 + E(1) ) + 4/9 * ( 1 + E(2) ) + 1/9 * 1

解这个方程组就得到 E(0) = 30

 

 

这两个题目说明，当期望值很难从定义直接计算的时候，不妨考虑一下状态的变换关系，有时候思路就一下子明朗了。