紐約大學柯朗數學研究所的王虹副教授與合作者證明掛穀猜想

2025年初春，數學界傳來一則令人振奮的消息：紐約大學柯朗數學研究所的王虹副教授與合作者在預印本平臺arXiv上發佈論文，宣稱解決了困擾數學家們一個多世紀的三維掛穀猜想（Kakeya Conjecture）。

掛穀猜想通常被表述為：在n維空間中，包含所有方向單位線段的集合（掛穀集）的豪斯多夫維數或閔可夫斯基維數是否等於n。對於二維情況，這個維數是2，而三維情況直到2025年才被王虹證明為3。

日本數學家掛谷宗一（Soichi Kakeya）提出的「武士如廁思維實驗」及相關數學公式。掛谷宗一從日本武士文化中汲取靈感，提出了以下問題：

「若一名武士在狹小的廁所內遭遇敵人攻擊，只能以一根無限細長的短棒（如武士刀）進行迴旋格鬥，則所需的最小空間面積是多少？

如何用數學語言描述武士旋轉短棒的問題。這個問題可以轉化為求一個點集，使得長度為1的線段可以在此點集中旋轉180度或360度，覆蓋所有方向，並且這個點集的面積最小。日本數學家掛谷宗一曰：從數學上，這可以表示為：

給定一個點集S，使得對於任意方向θ，存在點(x, y) ∈ S，使得線段從(x, y)出發，旋轉θ角度後仍位於S內。求這樣的點集S的最小勒貝格測度（面積）。

不過，根據搜索結果中的資訊，掛谷宗一最初的問題可能更具體，比如在二維平面上，線段可以旋轉360度，而後續的推廣到高維。因此，數學公式需要明確維度和旋轉角度。例如，在二維情況下，問題可以表示為：

min |S| ，使得對於任意θ ∈ [0, 2π)，存在(x, y) ∈ S，使得線段以(x, y)為中心，旋轉θ角度後仍完全位於S內。

這裡|S|表示集合S的勒貝格測度（面積）。不過，根據貝西科維奇的構造，這樣的集合的面積可以任意小，甚至趨近於0，但維數可能保持為2。

不過，用戶可能希望更具體的公式，比如在二維情況下，已知最小面積是π/8，對應於內擺線的情況。內擺線的參數方程可以寫為：

x = (1/2)(cosθ + cos2θ)
y = (1/2)(sinθ + sin2θ)

這個方程描述了內擺線，其面積可以通過積分計算得到π/8。因此，數學公式可以包括這個參數方程和面積計算。

1928年，俄羅斯數學家貝西科維奇證明：「存在面積（勒貝格測度）趨近於零的集合，仍可包含所有方向的單位線段。」他通過構造佩龍樹（Perron Tree）分形結構，將面積壓縮至任意小，但維數仍為2。

2025年初，紐約大學王虹副教授與合作者證明：三維掛穀集的豪斯多夫維數和閔可夫斯基維數均為3。此成果結束了百年爭議，為四維問題提供新思路。

掛谷宗一的思維實驗不僅是數學問題的起源，更體現了跨領域啟發的價值。其猜想推動了分形幾何、調和分析與計算機科學的發展，而王虹的證明則標誌著「多尺度交叉分析」方法論的成熟。正如陶哲軒所言：這是21世紀最偉大的數學成就之一，將深刻影響未來數十年的科學進展。