Coding the Matrix (3):矩阵

 

1. 矩阵与映射

矩阵和映射包含两方面的关系:

  1. 简单:已知矩阵 M, 从向量 x 映射到 M * x. (注:矩阵与行向量的点乘)

  2. 稍微复杂:已知映射 x ->M * x, 求矩阵 M。

第一种情况直接运算就可以得到映射,就不详细写了,着重写第二种情况。

首先,假设 x 为 n 维行向量, M*x 为 m 维列向量,可以知道 M 是 m × n 大小的矩阵。在点乘里面,M 的列向量是基向量, x 向量的每个分量是线性组合的系数,M 矩阵可以写成:

怎么求出 v1, v2, ..., vn 向量呢?利用基向量带入即可得到:

例一 :将一张图片向右拉伸两倍,即 (x, y) 变为了 (2x, y), 它的变换矩阵可以这样求:

求得的变换矩阵就是 M = (v1, v2)

例二 :将一张图片逆时针旋转 90 度,变换矩阵 M 可以这样求:

求得的变换矩阵也是 M = (v1, v2)

同样,将图像旋转 theta 角度和平移操作 (translation) 也可以用这个方法求出变换矩阵。

根据上述方法虽然可以求出图像平移的变换矩阵,但是如果我们将 [0, 0] 左边进行变换,发现原点还是在原点,并没有平移,结果显然是错误的,这是什么原因呢?这里就不得不说一说线性映射了。

 

2. 线性映射

线性映射需要满足两个条件:

首先,左乘矩阵肯定是一个线性映射。考虑上面的例子,图像伸缩、旋转都符合两个条件,而图像平移不符合,因此不是线性映射,不存在变换矩阵。更进一步,什么时候才是一一映射呢?当矩阵 M 是一个满秩矩阵,此时 M 可逆,该映射是一个 one-to-one and onto 的线性映射。

 

 

 

掰掰~

posted on 2013-07-22 23:40  daniel-D  阅读(1780)  评论(0编辑  收藏  举报

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