Coding the Matrix (2):向量空间

 

1. 线性组合

概念很简单:

当然,这里向量前面的系数都是标量。

 

2. Span

向量v1,v2,.... ,vn的所有线性组合构成的集合,称为v1,v2,... ,vn的张成(span)。向量v1,v2,...vn的张成记为Span{v1,v2,... ,vn}。

回顾上一次课里面的电脑登陆认证的过程,假设黑客知道使用 GF(2) 加密,截获到一组电脑的问题 alpha 以及用户的回答 beta:

那么即使黑客不知道密码, alpha 所组成的 span 里面的所有问题都可以通过线性组合来得到答案了,证明如下:

 

3. Generator

实际上就是基的概念:

 

4. 向量在实数上的 span

span 就是向量的所有线性组合。一个非零向量的 span 通过原点的线,是一维,两个向量的 span 可能是一维的,亦可能是二维。

一个过原点的平面可以表示成:

{[x, y, z]: [a, b, c] · [x, y, z] = 0}

在几何上, (a, b, c) 又叫法向量。两个平面相交,可以得到一根直线:

可以看到,有两种方法表示一个几何物体:

  1. 几个向量的 span
  2. 齐次线性方程组(b = 0)的解集。

 

5. Convex Full

向量线性组合系数之和为 1,可以得到 Convex Full, 实际上这就是一个仿射组合。两个二维向量的 Convex Full 是一条线段,三个三维向量的 Convex Full 是一个三角形。

 

6. 仿射空间和仿射组合

过三个点 u1, u2, u3 的平面可以表示成 u1 + span{u2-u1, u3-u1},进一步可以推导如下:

同样的仿射组合的定义可以表示成:

和上面的推导一样,实际上

 

7. 齐次与非齐次线性方程组

齐次线性方程组的解集表示了一个过原点的几何物体,如点,直线,平面等,这个结集也可以看做一个 span。假设 U1 和 U2 是非齐次方程组的解,那么将 U1 和 U2 分别带到方程组,想减可以得到 U1 - U2 是齐次方程的组。所以有:

联系第6小节中的推导,假设 U1, U1, U3 是非齐次线性方程的三个解,那么 U3 -U1 和 U2 -U1 必定是齐次线性方程组的两个解,可以看到,非齐次方程组的解就在  u1 + span{u2-u1, u3-u1} 的仿射空间内。

 

 

掰掰~

posted on 2013-07-16 19:19  daniel-D  阅读(740)  评论(0编辑  收藏  举报

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