0-1背包问题

0-1背包问题是一个典型的动态规划问题。

描述如下：现在又一个可以载重量为M的背包，另外有N个物品，每个物品重量和价值分别为w[i]和v[i]，现在要求选择物品放入背包，使其在不超过重量的情况下有最大价值。

问题的递推表达式如下：设C为当前背包的容量。

　　当w[n] > C时， f(n, C) = f(n-1, C)

　　当w[n] <=C时， f(n, C) = max{f(n-1, C), v[n] + f(n-1, C-w[n])}

可以利用上式得到采用递归方法计算函数f的代码，递归结束是：f(i, 0) = 0或 f(0, j)=0.

 

另外也可以根据上面的最优子结构采用动态规划的方法，使用work[N+1][M+1]数组，其中work[i][j] 表示前i个物品放入载重量为j的背包中时能得到的最大价值。

以数据
10,3　　　　//分别表示M和N
3,4　　　　　//表示每个物品的重量和价值
4,5
5,6

为例，得到的work矩阵如下：

 　　第一行，第一列一定均为0，j为1和2时，因为w[i] < j, 所以取 f(n-1, j)，所以也都为0， 在以后的更新中，进行递推式比较，注意是将 f(n-1, j)和f(n-1, j-w[i])相比，所以只要当前物品重量w[i]小于背包总量j时即可进行是否加入的判断。代码如下：

//0-1背包问题

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<vector>
using namespace std;

class Bag{
public:
    Bag(){}

    void parse(ifstream & fin);

    void getMaxValue();
    
private:
    int number;
    int weight;    
    vector<int> w;
    vector<int> v;        //分别表示每个物品的重量和价值。

};

void Bag::parse(ifstream & fin)
{
    fin >> weight >> number;

    int tempv, tempw;
    w.push_back(0);
    v.push_back(0);
    for(int i = 0; i < number; i++)
    {
        fin >> tempw >> tempv;
        w.push_back(tempw);
        v.push_back(tempv);
    }
}

void Bag::getMaxValue()
{
    vector<int> t(weight+1, 0);
    vector<vector<int> > work(number+1,t);    //初始化number*weight的全0数组, 行表示前i个物品，被装入载重量为j的背包

    for(int i = 1; i <= number; i++)
        for(int j = 1; j <= weight; j++)
        {
            if(w[i] <= j)    //注意，不要忘记等于的情况！！
            {
                int temp = work[i-1][j-w[i]] + v[i];
                if(temp > work[i-1][j])
                    work[i][j] = temp;
                else
                    work[i][j] = work[i-1][j];
            }else
                work[i][j] = work[i-1][j];
        }
/////////////////结果输出
    for(int i = 0; i <= number; i++)
    {
        for(int j = 0; j <= weight; j++)
        {
            cout << work[i][j]<< "  ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << "the max value is " << work[number][weight] << endl;
/////////////////////////////
}


int main()
{
    ifstream fin("in.txt");
    Bag b;
    b.parse(fin);
    b.getMaxValue();

    system("pause");
    return 0;
}