《编程之美》笔记2 最大公约数

求两个正整数的最大公约数？

 设要求x，y（x>y）的最大公约数，并且有 x = k*y+b.——   x % y = b

 

解法一：辗转相除法

 一个基本的方法就是辗转相除法：x与y的最大公约数就是y和b的最大公约数。算法不断递归进行，直到b的值为0，此时y的值就是最大公约数。

　　使用递归方法：

　　int gcd(int x, int y)
　　{
　　　　if(x < y)
　　　　　　return gcd(y, x);
　　　　if(y <= 0)
　　　　　　return x;
　　　　return gcd(y, x%y);
　　}

　使用迭代方法：

int gcd(int x, int y)
{
    if(x < y)
        {int temp = x; x = y; y = temp}
    while(y != 0)
    {
        int temp = x % y;
        x = y;
        y = temp; 
    }
    return x;
}

解法二：
　　取模运算的开销很大，可以采用减法来去掉取模运算，就是“《编程珠玑》第九章代码调优”的内容。

　　因为 m = x % y 就等价于

　　m = x-y;

　　while(m >= y)

　　　　m = m-y;

　　所以对于求最大公约数，直接将递归方法中的 return gcd(y, x%y); 变为 return gcd(x-y, y);就完了。

　　该方法的缺点就是迭代次数会变得很大。特别是x与y相差较大时。

解法三：

　　分析公约数的特点：

　　对x和y，若 y = k * y1, x = k * x1; 那么，f(x, y) = k * f(x1, y1).

　　　　　　另外，若x = p * x1，假设p是素数，并且 y%p != 0，（即y不能被p整除）那么f(x,y) = f(p*x1, y) = f(x1, y).

　　所以我们在此处假设p为2，（这样也便于移位运算）

　　若x和y均为偶数, f(x,y) = 2*f(x/2, y/2) = 2* f(x>>1, y>>1)

　　若x为偶数，y为奇数， f(x,y) = f(x/2, y) = f(x>>1, y)

　　若x为奇数，y为偶数， f(x,y) = f(x, y>>1)

　　若x和y均为奇数，f(x,y) = f(y, x-y)，这样x-y必定为偶数，下一步可以除以2进行缩小。

　　代码如下：

int gcd(int x, int y)
{
    if(x < y)
        return gcd(y, x);
    if(y == 0)
        return x;
    if(isEven(x))
    {
        if(isEven(y))
            return gcd(x>>1, y>>1) << 1;
        else
            return gcd(x>>1, y);
    }else{
        if(isEven(y))
            return gcd(x, y>>1);
         else
            return gcd(y, x-y);
    }
}