《编程之美》笔记1 寻找缺失的数

 

　　首先，该题中一个机器中只有一个记录，如果机器出故障，就缺失了该ID记录的一个备份。

　　这个问题实际上与在10亿个数中找出只出现零次，一次，两次，N次......的问题相同。（在《编程珠玑》第二章中遇到过寻找在文件中出现过0次的数的问题）

　　并且我们知道有如下假设：1）10亿个ID一定每个都出现过；2）大部分ID的出现次数与备份数有关；3）小部分出现0次或1次的ID一定就是该ID对应的机器出现了故障

 

解法一：普通的遍历搜索方法。

　　使用一个10亿长的数组 a[N]，遍历得到的ID列表，出现了一次ID，就将对应的a[ID]++，最后值为1的项就是要寻找的ID。——时间复杂度和空间复杂度均为O(N)。

　　继续考虑：1.如果确定只有一个ID出现次数为1，其他均为2，就可以使用bool数组，进而使用位图结构bitmap。

　　　　　　　2.如果对于第二问，如果有两个数据项丢失，可能出现同一ID出现0次，或 两个ID分别出现一次。要区分0次，1次，2次，就至少需要2bit，进而可以使用修改过的bitmap结构（每两位表示一个ID）。

 

解法二：使用hash表（set集）

　　该方法的前提是解法一的第一种情况。

　　由于大部分数据出现两次。可以使用一个Hash表来存储那些出现过一次的ID，也就是遍历ID列表，对当前某个ID，如果在Hash表中没有出现，就加入（这是第一次出现）。如果在Hash表中已有该ID，就删除这个ID，遍历下一个（说明这个ID出现了两次，是正常的ID）。

　　最后，Hash中剩下的那个ID就是出现了一次的ID。

 

解法三：使用异或

　　解法三比较新颖。因为从解一和解二可以看到，如果采用遍历存储状态的方法，空间复杂度最坏一定会达到O(N)。

　　使用异或方法基于这个事实： X ^ X = 0 , X ^ 0 = X； （^表示位异或）

　　所以对于出现了两次的ID，其异或结果一定为0，0再与出现了一次的ID异或，结果就为该目标ID。（因为异或支持交换律和结合律）

　　对于有两个数据项出现缺失的情况，设为A和B，

　　若A = B，就是说，丢失了同一个数据的两份拷贝（同一ID出现0次），结果A ^ B = 0，结果不能找到这个ID。

　　若A != B，有两个ID出现了一次，A^B结果不为0，结果的二进制数一定有某位为1，以该位作为划分标准，可以将所有ID分成两类：该位为1，该位0。那A和B肯定在不同的类别中。使用两个变量，在遍历一遍列表，分别计算这两类ID的异或和，可以分别得到A和B的值。

 

解法四：使用"不变量“

　　前面的解法中一个普遍问题就是处理不了 两台故障机器ID相同的情况。

　　使用“不变量”的概念，所有ID的和是一个定值（“不变量”），设为SUM，这个可以预先计算出来。

　　将现有列表中所有ID相加，得到M，如果只丢失了一个数，就可以使用SUM-M直接计算出这个ID。

　　如果丢失了两个数，得到的就是 x+y = a;要计算这个方程式中的x和y，就在需要其他条件。可以采用 xy = b；或 x²+y² = c； 这样就能求解方程组。

 

对于扩展的问题，有N个备份，N台机器死机，使用解法一，（修改的bitmap结构）

类似的问题是从一副扑克牌中抽出一张牌，根据剩余的牌分析抽出牌的点数。