《编程珠玑》笔记12 随机数生成

1.问题

　　抽象后的问题如下：输入两个整数m和n,(m < n).输出0～n-1范围内的m个随机整数的有序列表，不允许重复。

　　也就是说，要对0~n-1范围内的数字进行选择，每个数字被选中的概率相等.

　　有两点要注意：不允许重复，结果有序；
2.解决方案

　　2.1已有知识

　　利用库函数<stdlib.h>中的rand()函数可以产生0到RAND_MAX范围内的随机整数。

　　 RAND_MAX是在前面头文件中定义的宏，具体大小与实现有关，至少为32767(2^15-1).

　　 一般32位机，int型为4字节，故RAND_MAX大小为2147483647(2^31-1).

　　两个相关函数：

　　 产生很大随机整数bigrand()：RAND_MAX *rand() + rand();实际上就是先产生前15位，再产生后15位，也即rand()<<15 | rand();

　　产生指定范围随机整数 randint(l,u): rand()%(u-l+1)+l; 产生的数据在[l,u]之间.

　　(后面对时间复杂度的讨论，都默认rand()需要单位时间）

　　 2.2方法一：使用set集

　　这种方法也是一种较为通用的方法,使用set不仅排除了生成相同的数字，对其遍历的过程也实现了排序。

void getsets(int m, int n)
    {
        set<int> S;
        while(S.size() < m)
            S.insert(rand()%n);      //insert保证了如果出现S中已有数字，那就什么都不做
        set<int>::iterator i;
        for(i = S.begin(); i != S.end(); i++)
            cout << *i << endl;
    }

　　 时间效率：set每次插入时间为O(logm),while循环总共进行了m次插入，遍历集合需要O(m).故总时间为O(mlogm).额外的空间需求为set集的大小：O(m).

　　2.3方法二：Knuth的算法S

　　依次考虑整数 0,1,2,……，n-1,通过一个适当的随机测试对每个整数进行选择。通过按序访问整数，保证输出结果有序。

　　设m=2, n=5,那么选择第一个整数0的概率就是2/5,这种确定概率，通过 if (rand()%5) < 2 来判断是否选取该数字，然后判断是否选择整数1，若0被选中，以 1/4 的概率选择1， 若0未被选中，以 2/4 的概率选择1，…… ，总之，对于从r个剩余整数中选s个，以 s/r 来选择下一个数。

void getknuth(int m, int n)
    {
        for(int i = 0; i < n; i++)
            if(rand() % (n-i) < m)
            {
                cout << i << endl;
                m--;
            }
    }

时间效率：该程序的时间复杂度是与n有关的：O(n),空间上只需要几十个字节。

2.4方法三：打乱数组顺序

　　 对于包含整数0~n-1的数组，打乱数组的前m个元素，然后把前m个元素排序输出即可。

 void genshuf(int m, int n)
    {
        vector<int> x(n);
        for(int i = 0; i < n; i++)
            x[i] = i;
        for(int j = 0; j < m; j++)
        {
            int k = randint(i, n-1);
            SWAP(x[i], x[k]);
        }
        sort(x, x+m);
        for(int j = 0; j < m; j++)
            cout << x[j] << endl;
    }

时间效率：时间上为O(n+mlogm), 一次初始化和排序。空间上也需要O(n).

　　2.5其他方法

　　根据问题的实际情况（m和n的相对大小）,如若n为100万，m为n-10时，可以生成10个元素的随机样本，然后输出不在样本中的整数

3.原理

　　解决问题的步骤：理解分析问题 —— 建模提出抽象模型 —— 考虑多种解法 —— 实现一种方案 —— 回顾改进

4.习题

　　4.8 从0～n-1中随机选择m个数，

　　　　输出顺序随机，不重复：(使用方法2.4，但不进行排序）

　　　　fori = [0,n)
            　　x[i] = i;
        　  for j = [0,m)
            　　int k = randint(i, n-1);
            　　SWAP(x[i], x[k]);

　　　　for i = [0,m)

　　　　　　cout << x[i]

　　　　输出顺序随机，可重复：（最普通的情况）

　　　　　　for i = [0, m)

　　　　　　　　cout << rand() % n;

　　　　输出有序，不重复：

　　　　　　前面写的三种方法均可。

　　　　输出有序，可重复：

　　　　　 删除对生成数字是否已在结果集的判断，（可以采用第13章将要介绍的各种数据结构，也可以直接使用multiset标准STL）