Codeforces Round 1046 (Div.1)

E,F 不会啊，不要太看得起我了。

A

首先，对于每一个 \(i\) 求出以 \(i\) 结尾的子序列中，如果是一个block，则首元素最大可能下标是多少，记为 \(f_i\) 。其实这一个是十分好求的，相当于问 \(i\) 前面第 \(a_i-1\) 个权值为 \(a_i\) 的数下标为多少。考虑将权值相同的数一起处理 \(f_i\) 就可以线性预处理。

然后就可以简单dp一下了。记录 \(g_i\) 表示右端点不超过 \(i\) 的最长子序列长度，则有 \(g_i=\max\{g_{i-1},g_{f_i-1}+a_i\}\) 。

时间复杂度 \(O(n)\) ，可以通过本题。

B

我们先想一下如果 \(n=1\) 怎么做。假设这个点是 \((x,y)\) 。

如果我们的机器人当前在 \((x,y)\) 的左下方或者右上方，可以知道他目前在直线 \(y=-x+b\) 上面。

十分类似的，如果我们的机器人当前在 \((x,y)\) 的左上方或者右上方，可以知道他目前在直线 \(y=x+b\) 上面。

联立两个方程就可以解出机器人的初始位置了，并且也是唯一的。

现在有多个节点了，我们依然沿用刚才的思想。先将机器人下标移动到 \((-\infty,-\infty)\) 的位置，则距离函数可以直接被写为 \((x_i-p)+(y_i-q)\) ，其中 \((p,q)\) 为机器人目前的位置，下同。找到 \(x_i+y_i\) 最小的节点就可以建立 \(y=-x+b\) 的方程。

类似的，将机器人移动到 \((+\infty,-\infty)\) 的时候，距离函数可以直接被写为 \((p-x_i)+(y_i-q)\) 。找到 \(y_i-x_i\) 最小的节点就可以建立 \(y=x+b\) 的方程。

然后就可以解出来机器人的初始节点。

注意到本题的值域范围在 \([-10^9,10^9]\) 之间而我们每一次移动可以移动至多 \(10^9\) 步。那么向左，向下分别移动两次 \(10^9\) 就可以到达 \((-\infty,-\infty)\) 。接下来向右移动四次 \(10^9\) 步就可以到达 \((+\infty,-\infty)\) 。一共只需要八次操作。

C

首先题目说的 \(p,q\) 之间所有简单路径权值相同，我们容易想到先拉出来一颗dfs树。

接下来考虑返祖边带来的影响，先假设图中一共只有一条返祖边，其实我们就只关心这个环中两两节点之间的路径权值是否相等。经过手玩，十分容易发现：

• 如果环的大小是一个偶数，则环上节点权值应该相等。

• 如果环的大小是一个奇数，则环上节点权值不仅应该相等，还都得是 \(0\) 。

如果有多条返祖边怎么办呢？其实也就是同时对于每一条返祖边与树边构成的环满足条件就行了。容易使用并查集维护节点权值的相等情况。计算答案是简单的。

时间复杂度 \(O(n \log n)\) 。

D1

这部分没有对 \(n\) 的和进行限制。

我们考虑一个事情，第一次询问，\(\max\{a_i\}\) 不能大不然返回 \(0\) 就不好了。干脆先让第一次询问输出 \(n\) 个 \(1\) 吧! 然后我们知道，\(W\) 的大小在一个范围 \([L,R]\) 之间。

这个区间很有说法，一定满足 \(2L>R\) 。如果满足 \(2L \leq R\) 的话 \(\lceil \dfrac{n}{L}\rceil\) 是一定严格小于 \(\lceil \dfrac{n}{R}\rceil\) 的。我们就十分容易想到一个判断 \(W\) 大小的方式：

• 生成一个长度为 \(2(R-L)\) 的序列形如 \(L,1,L,2,L,3,\dots,L,R-L\) 。

这是什么原理呢？因为 \(2L>R\) ,所以一定不可能出现三个元素同时在一行的情况。并且 \(W\) 一定会出现恰好 \(W-L\) 次两个元素在同一行，其余元素单独一行。

因为 \(2L>R\) ，则 \(2(R-L)\) 也是不超过 \(10^5\) 的，可以通过。

D2

我们借鉴D1的思路。接下来的数据是我赛时尝试后得到的，主要是思路这一块。

我们还是知道，第一次询问 \(\max\{a_i\}\) 不可以大。但是输出 \(n\) 个 \(1\) 未免有点太浪费了。

我们考虑输出 \(10^4\) 个 \(121\) ，然后分为两个部分。一个是 \(W\leq 120\) 和 \(W>120\) 。

首先 \(W>120\) 的部分可以直接套取 \(D1\) 的做法，打表得到 \(2(R-L)\) 不超过 \(1.5\times 10^4\) 。

\(W \leq 120\) 的部分直接输出 \(N=1.5\times 10^4\) 个 \(1\) 。打表发现 \(\lceil \dfrac{N}{W} \rceil\) 没有相同的。

那么就在不超过 \(2.5\times 10^4\) 的情况下完成了构造。