六、排队论模型
六、排队论模型
问题引入：顾客希望服务机构越大越好，但是开支大；服务机构希望自己越小越好，但出现拥挤现象。
一、研究内容：
（i）性态问题：研究各种排队系统的概率规律性，主要是研究队长分布、等待时间分布和忙期分布，包括瞬态和稳态两种形式；
（ii）最优化问题：静态最优（最优设计）；动态最优（最优运营）。其实两者最好都要有：先要有最优设计，在运营期间做最优运营。
（iii）排队系统的统计推断：排队系统符合哪种模型，
二、基本概念：
2.1排队系统组成
输入过程：顾客来时间的规律性；
包含了顾客组成是否有限，顾客是否一个人来的；顾客到达是否对后面到达有影响；输入过程是否平稳；
排队规则：顾客按照什么样的规则等待；
包含了损失制：遇到拥挤就走；等待制：很好理解；混合制：超过一定限度就走；
服务过程：
服务机构：单服务台，多服务台并联；多服务台串联；混合型；
服务规则：先到先服务（常见）；后到先服务（最新情报先处理）；随机服务；优先服务（医疗）；
2.2符号表示
| 队模型符号表示： | 分布的约定符号表示： |
|---|---|
| X：顾客倒带流的分布； | M：指数分布； |
| Y：服务时间的分布； | D：确定型 |
| Z：服务台数量； | Ek：k阶埃尔朗分布 |
| A：系统容量限制； | G：一般服务时间分布 |
| B：顾客源数目 | GI：相互独立的时间间隔分布 |
| C：服务规则 |
2.3运行指标
（1）平均队长：E（系统内顾客），\(L_s\);
（2）平均排队长：E（等待服务的顾客），\(L_q\)；
（3）平均逗留时间：E（顾客在系统的存在时间），\(W_s\)；
（4）平均等待时间：E（顾客等待时间），\(W_q\);
（5）平均忙期：E（服务机构连续繁忙时间），\(T_b\);
华友企业损失率，服务强度等；
三：输入过程和服务时间的分布：
排队系统的事件流包括：顾客到达流和服务时间流。
3.1泊松流和指数分布：
设N(t)：在t时间内到达的顾客数；\(P_n(t_1,t_2)\) ：表示时间区间内有n个顾客到达的概率。$P_n(t_1,t_2)=P{N(t_2)-N(t_1)=n} $ ,如果是泊松分布就要满足以下条件：
（1）无后效性：t1和t2不重叠时，N(t1)与N(t2)相互独立；
（2）概率强度：对于充分小的\(\Delta t\),有一个顾客到达的概率与t无关，而与区间长度成正比，\(\Delta t\lambda\) 就是改时间内到达一个顾客的概率；
（3）在充分小的时间内，有两个及两个以上顾客到达的概率很小，趋近与0；
研究顾客到达数n的概率分布。
求得：
\(P_n(t)=\frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t}\),n=1,2,...
N(t)服从泊松分布；\(E[N(t)]=\lambda t;Var[N(t)]=\lambda t\)
当输入过程是泊松流的时候，那么顾客相继到达的时间间隔T必服从指数分布。\(F(t)=1-e^{-\lambda t}\); 分布密度为:\(f(t)=\lambda e^{-\lambda e}\)
那么顾客的服务时间也就是在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间，有时也服从指数分布。
3.2常用的几种概率分布
| 连续性： | 离散型 |
|---|---|
| 均匀分布： | 伯努利分布： |
| 正态分布： | 泊松分布：用于排队，产品检验，生物、天文 |
| 指数分布：唯一无基于的连续性随机变量 | 二项分布：产品检验，保险，医学统计 |
| Gamma分布：常用于服务时间，零件寿命 | |
| Weibull分布：设备、零件的寿命 | |
| Beta分布：区间（0，1）内的双参数， |
四：生灭过程
{N(t),t>0}为一个随机过程。其概率分布具有以下性质：
（1）N(t)=n,则从时刻t起到下一个顾客到达时刻止的时间服从负指数分布
（2）N(t)=n,则从时刻t起到下一个顾客到达时刻止的时间服从负指数分布
（3）同意时刻只有一个顾客到达或离去
五：M/M/s等待排队模型：
5.1单服务台模型(M/M/1/%)：
顾客相继到达时间服从\(\lambda\)负指数分布，服务台个数为1，服务时间服从\(\mu\)负指数分布，系统空间无限，允许无限排队。
队长分布：
\(\rho=\frac{\lambda}{\mu}\) 服务强度 \(p_n=(1-\rho)\rho^n\)
数量指标：
$L_s=\frac{\lambda}{\mu-\lambda} $ \(L_q=\frac{\lambda^2}{\mu(\mu-\lambda)}\) \(W_s=\frac{1}{\mu-\lambda}\) \(W_q=Ws-\frac{1}{\mu}=\frac{\lambda}{\mu(\mu-\lambda)}\)
平均忙期和平均闲期；
5.2：多服务台模型（M/M/s/%）
